长方体正方体.知识点总结

长方体的再认识一、 概念1、 长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱2、 长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系）长方体的每个面都是长方形；长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。3、 正方体是特殊的长方体。4、 平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。记作：平面ABCD或平面。5、 将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。6、 斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。长方体ABCD-EFGH、平面ABCD、棱AB、顶点A。7、 空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交； 如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行； 如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。8、 直线垂直于平面记作：直线PQ平面ABCD；直线平行于平面记作：直线PQ平面ABCD。9、 计算公式之一：（三条棱长分别是a、b、c的长方体） 棱长和 = ； 体积 = ； 表面积 = ； 无盖表面积 = 、10、计算公式之二：（边长是a正方体） 棱长和= 12 ；体积= ；表面积= ；无盖表面积 =。11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。 14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。 二、检验垂直或平行的方法：1、检验直线与平面垂直的方法： 铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面） 三角尺法：将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。（可用于检验细棒是否垂直于墙面） 合页型折纸法：将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕靠近被测直线，如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。2、检验平面与平面垂直的方法： 铅垂线法； 三角尺法； 合页型折纸法。3、检验直线与平面平行的方法： 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。（可用于检验黑板的边沿是否平行于水平面） 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。（可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面）4、检验平面与平面平行的方法： 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。二、长方体中的棱与面的位置关系：（长方体中有现成的合页型折纸、长方形纸片可供检验）1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；4、长方体中与某条棱平行的面有2个；5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；6、长方体中与某个面平行的棱有4条；7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。巩固练习一、选择题1长方体裁12条棱中，棱相等的至少有（ ）(A) 2条； (B) 4条； (C) 6条； (D) 8条2在长方体中，与一条棱垂直的平面有 （ ）(A) 1个； (B )2个 ； (C) 3个； (D) 4个3在长方体中，与一个平面垂直的棱有 （ ） （A）1个； (B)2个; (C)3个； (D)4个.4以下说法中正确的个数是 （ ）（1）水平面是平面，但平面不一定是水平面；（2）凡与铅垂线重合的直线一定垂直于平面；（3）直立于桌面上的合页型折纸的折痕必垂直于桌面；（4）如果长方体的两条棱没有公共点，那么它们一定平行(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个5下面哪个不是检验直线与平面垂直的工具 （ ）(A)铅垂线； (B)长方形纸片； (C)三角尺； (D)合页型折纸6长方体中，相邻的两个平面 （ ） (A)有垂直关系； (B)有平行关系； (C)可能垂直也可能平行； (D)无法确定二、填空：7空间两条直线的位置关系有_.8长方体的长是12cm，宽是8cm，高是5cm，这个长方体所有的棱长和是_.9如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用什么方法检验：_.10如图，长方体中，与面CDD1C1垂直的棱有_ _.11如图，长方体中，与面BCC1B1垂直的面有_ _.12如图，在长方体中，与面CDD1C1平行的棱有_ _.13如图，沿长方形ABCD的对角线BD与长方形A1B1C1D1的对角线B1D1将长方体截成相等的两部分，截面BDD1B1，是一个_形，与它平行的棱有_.14如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD上，那么折痕MN与平面ABCD的关系是 15如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有_个顶点，_条棱，_个面.16如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有 个顶点， 条棱， 个面. 17.如图是长方体的 六面展开图，在原来长方体中，与平面B 垂直的面有_. 18.如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为 个. 三、作图题19画一个长方体，使它一个顶点出发的三条棱长分别是a、b、c. 20补画下面的图形，使之成为长方体的直观图.四、简答题（12分+12分+14分+14分，共52分）21用一根108cm长的铁丝做一个长、宽、高的比为2：3：4的长方体框，那么这个长方体的体积是多少？22把长、宽、高分别为5、4、3两个相同的长方体粘合成一个大的长方体，求大长方体的表面积和体积.23如图，将一个横截面是正方形（面BCGF）的长方体木料，沿平面AEGC分割成大小相同的两块，表面积增加了30平方厘米.已知EG长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？ 24小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：(1)制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；(2)制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长、宽和高；(3)制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，那么涂色部分的面积是多少呢？ 图1 图2参考答案：一、选择题1B；2B；3D；4B；5B；6A二、填空题7平行、相交、异面；8100；9铅垂线 ；10AD，A1D1、BC、B1C1；11ABB1A1、CDD1C1、ABCD、A1B1C1D1；12AB、A1B1、AA1、BB1； 13长方； CC1、AA1；14垂直；157、12、6；1610、15、7；17A、F、C、E18. 95三、解答题19略；20略四、解答题21解：设棱长分别为2x、3x、4x x=3所以棱长分别为6、9、12体积为V=6912=648322解：总表面积为S=（54+43+53）2=942分类：1）以5、4为粘合面，则S1=942-（54）2=148.2）以5、3为粘合面，则S2=942-（53）2=158.3）以4、3为粘合面，则S3=942-（43）2=164.体积为V=（543）2=1203.23解：由题意：对角线所在长方形面积=152，故高CG=155=3（）.又因为横截面是正方形，故BC=CG=3.而其体积为182=363，故其边AB=3632=4；原来这块长方体木料的表面积S=（43+43+33）2=662.24解：1）略2）由题意：长方体六个面两俩相同，故只有ab，ac，bc，3种形式故；如图可得：4b=24，3a=c，2b=c所以得：a=4，b=6，c=123）总表面积为S=（126+46+124）2=2882要使涂色部分的面积最少，则涂色部分的面积是 S=288-（126）=21628 / 8文档可自由编辑打印