人教版数学八年级下册 17.1 勾股定理同步练习【含答案】

第十七章勾股定理171勾股定理第1课时勾股定理1如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形求中间空白小正方形的面积，不难发现：方法：小正方形的面积 ；方法：小正方形的面积 ；由方法，可以得到a，b，c的关系为： 2在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A5 B6 C7 D83已知直角三角形中30角所对的直角边的长是2 cm，则另一条直角边的长是( )A4 cm B4 cm C6 cm D6 cm4如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，则正方形ABCD的面积为 5在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是 6如图，在ABC中，ABC90，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S24，S36，则S1 7在ABC中，C90，ABc，BCa，ACb.(1)a7，b24，求c；(2)a4，c7，求b.8如图，在ABC中，AB13，AC20，AD12，且ADBC，垂足为D，求BC的长9已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 10如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面积是( )A48 B60 C76 D80 11如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中点A与点A重合，点C落在边AB上，连接BC.若ACBACB90，ACBC3，则BC的长为( )A3 B6 C3 D.eq12如图，分别以RtABC的三边为边长向外作等边三角形若AB4，则三个等边三角形的面积之和是( )A8 B6 C18 D1213在RtABC中，C90，若ABAC2，BC8，则AB的长是 14我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJAB，则正方形EFGH的边长为 15如图，在ABC中，C90，D是AC中点求证：AB23BC24BD2.16勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2b2c2. 图1 图2证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DFECba.S四边形ADCBSACDSABCb2ab，又S四边形ADCBSADBSDCBc2a(ba)，b2abc2a(ba)a2b2c2.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90.求证：a2b2c2.第2课时勾股定理的应用1如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( )A4海里 B.eq海里 C3海里 D5海里2如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC12米，ABAC6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( )A6米 B5米 C3米 D2.5米3如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB12 m，则树高为( )A13 m B17 m C18 m D22 m4如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草5如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 m.6九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x6)尺，根据题意得方程： 7如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC500米)，求该河AB处的宽度8如图，滑竿在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑 m.9为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CAAB，DBAB，垂足分别为点A，B.AB3 km，CA2 km，DB1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？10如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A8 m B10 m C12 m D14 m11如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( )A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m12如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( )A4 m B8 m C9 m D7 m13如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为 m2.14如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 cm.15无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.16超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得APO60，BPO45，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？17如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30的BC方向移动，且风力不变若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响(1)A城市是否会受台风影响？为什么？(2)若会，将持续多长时间？(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？第3课时利用勾股定理作图1如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( )A1 B2.41 C.eq D12小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作ABOA，且AB3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( )A1和2之间B2和3之间C3和4之间D4和5之间3在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)4如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )A5 B6 C7 D255如图，图中小正方形的边长为1，ABC的周长为( )A16 B124 C77 D5116利用如图44的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和.7若等边ABC的边长为2 cm，则ABC的面积为( )A.eq cm2 B2 cm2 C3 cm2 D4 cm28如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A(1，1) B(1，) C(，1) D(，)9如图，在22的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为( )A.eq B.eq C.eq D210将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB12 cm，则AF cm.11如图，在ABC中，ABAC13 cm，BC10 cm，求BC边上的高12如图，在55的正方形网格中(每个小正方形的边长为1个单位长度)，格点上有A，B，C，D，E五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接( )AAE BAB CAD DBE13如图，在33的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上若BD是ABC的高，则BD的长为( )A.eq B.eq C.eq D.eq14在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.(1)请在图中画一个边长为的正方形；(2)这个正方形的面积为 15如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长16仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题OA()212，S1；OA()213，S2；OA()214，S3；(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出SSSS的值答案：第十七章勾股定理171勾股定理第1课时勾股定理1方法：小正方形的面积c24abc22ab；方法：小正方形的面积(ba)2b22aba2；由方法，可以得到a，b，c的关系为：a2b2c22A3C435627解：(1)C90，ABC是直角三角形a2b2c2.72242c2.c249576625.c25.(2)C90 ，ABC是直角三角形a2b2c2.42b272.b27242491633.b.8解：AB13，AC20，AD12，ADBC，RtABD中，BD5，RtACD中，CD16.BCBDCD51621.95或10C11A12A1317141015证明：在RtBDC中，根据勾股定理，得BD2CD2BC2.CD2BD2BC2.在RtABC中，根据勾股定理，得AC2BC2AB2.D是AC的中点，AC2CD.4CD2BC2AB2.CD2.BD2BC2.AB23BC24BD2.16证明：连接DB，过点B作DE边上的高BF，BFba.S五边形ACBEDS梯形ACBESAED(ab)bab，又S五边形ACBEDSACBSADBSBEDabc2a(ba)，(ab)bababc2a(ba)a2b2c2.第2课时勾股定理的应用1如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30方向航行4海里至C港，则A，C两港相距( B )A4海里 B.eq海里 C3海里 D5海里2如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC12米，ABAC6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是( D )A6米 B5米 C3米 D2.5米3如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB12 m，则树高为( C )A13 m B17 m C18 m D22 m4如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草5如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10m.6九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈10尺)，如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x6)尺，根据题意得方程：x26x3207如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC500米)，求该河AB处的宽度解：在RtABC中，AB2BC2AC2，即AB214025002，解得AB480.答：该河AB处的宽度为480米8如图，滑竿在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑0.5m.9为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CAAB，DBAB，垂足分别为点A，B.AB3 km，CA2 km，DB1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？解：设AEx km时，单车停放点E到两广场的距离相等则BE(3x)km.在RtACE中，根据勾股定理，得AC2AE2CE2；在RtBDE中，根据勾股定理，得BE2BD2DE2.CEDE，AC2AE2BE2BD2，即22x2(3x)21.62.解得x1.26.这个单车停放点E应建在距点A1.26 km处，才能使它到两广场的距离相等10如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( C )A8 m B10 m C12 m D14 m11如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m12如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为( D )A4 m B8 m C9 m D7 m13如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为100m2.14如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.15(南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.16超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得APO60，BPO45，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在RtAPO中，APO60，则PAO30.AP2OP200 m，AO100(m)在RtBOP中，BPO45，则BOOP100 m.ABAOBO(100100)m.从A到B小车行驶的速度为(100100)324.4(m/s)87.84 km/h80 km/h.此车超过80 km/h的限制速度17如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30的BC方向移动，且风力不变若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响(1)A城市是否会受台风影响？为什么？(2)若会，将持续多长时间？(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？解：(1)该城市会受到这次台风的影响理由：过A作ADBC于D.在RtABD中，ABD30，AB220，ADAB110.城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，受台风影响范围的半径为20(124)160(千米)110160，该城市会受到这次台风的影响(2)以A为圆心，160为半径作A交BC于E，F，则AEAF160.台风影响该市持续的路程：EF2DE260(千米)台风影响该市的持续时间t60154(小时)(3)AD距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为12(11020)6.5(级)第3课时利用勾股定理作图1如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( D )A1 B2.41 C.eq D12小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作ABOA，且AB3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上( C )A1和2之间B2和3之间C3和4之间D4和5之间3在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示4如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)A5 B6 C7 D255如图，图中小正方形的边长为1，ABC的周长为( B )A16 B124 C77 D5116利用如图44的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和.解：如图所示：7若等边ABC的边长为2 cm，则ABC的面积为( A )A.eq cm2 B2 cm2 C3 cm2 D4 cm28B9D10将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB12 cm，则AF6cm.11如图，在ABC中，ABAC13 cm，BC10 cm，求BC边上的高解：过点A作ADBC于点D.ABAC13 cm，BDCDBC105(cm)AD12(cm)2C13D14(遵义汇川区模拟)在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.(1)请在图中画一个边长为的正方形；(2)这个正方形的面积为10解：如图所示15如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长解：ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，CBCD.BDCDBC.又BCD180DCE18060120，BDCDBC30.又CDE60，BDE90.在RtBDE中，DE4，BE8，根据勾股定理，得BD4.16仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题OA()212，S1；OA()213，S2；OA()214，S3；(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出SSSS的值解：(1)OA()21n，Sn(n为正整数)(2)OA()2110，OA10.(3)SSSS()2()2()2()2()2.