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第三章概率的进一步认识综合检测一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字1,2,除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是()A.14B.13C.12D.232.甲口袋中有1个红球和1个黄球,乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球,这些球除颜色外其余都相同.从两个口袋中各随机取一个球,取出的两个球都是红球的概率为()A.16B.13C.12D.233.有下列说法:试验条件不会影响某事件发生的频率;在相同的条件下,试验的次数越多,就越有可能得到比较精确的概率估计值,但各人所得的值不一定相同;如图果一枚骰子的质地均匀,那么抛掷后每个点数朝上的机会均等;抛掷两枚质地均匀的硬币,出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的机会均等.其中正确的是()A.B.C.D.4.有5名自愿献血者,其中3人血型为O型,2人血型为A型,现从他们当中随机挑选2人参与献血,抽到的两人均为O型血的概率为()A.25B.310C.38D.375.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个小球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为()A.30B.28C.24D.206.如图图,在22的正方形网格中有9个格点,已经取定点A,B,在余下的7个点中任取一点C,使ABC为直角三角形的概率是()A.12B.25C.37D.477.小明、小颖、小华参加演讲比赛.原定出场顺序是小明第一个出场.小颖第二个出场,小华第三个出场,为了比赛的公平性,要求这三名选手用抽签的方式重新确定出场顺序,则抽签后每名选手的出场顺序都发生变化的概率是()A.13B.23C.16D.568.小刚与小亮一起玩一种转盘游戏,如图图所示是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的三个区域,分别用1,2,3表示,固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止.若两指针指向的数字和为奇数,则小刚获胜;否则,小亮获胜(若指针指在扇形的分界线上,则重转).在该游戏中小刚获胜的概率是()A.12B.49C.59D.239.在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字(乙猜的数字为“6,7,8,9”中的一个),记为n.如图果m,n满足|m-n|1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是()A.38B.58C.14D.1210.从1,2,3,4四个数字中随机选出两个不同的数,分别记作b,c,则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根的概率为()A.12B.13C.16D.112二、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)11.在一个不透明的布袋中,有红球、白球共30个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%,则随机从口袋中摸出一个球是白球的概率约是.12.三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案,现将印有图案的一面朝下,洗匀后从中随机抽取一张,记下图案后放回,再从中随机抽取一张,则两次抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为.13.十一黄金周期间,梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩.甲地到乙地有2条公路,乙地到丙地有3条公路.每一条公路的长度如图图所示(单位:km).梁先生任选一条从甲地到丙地的路线,这条路线正好是最短路线的概率是.14.一木盒里装有四个完全相同的小球,在小球上分别标上-2,2,2,3四个数,搅匀后,小明先从木盒里随机摸出一个小球,然后小亮再从剩余的小球里随机摸出一个小球,两人摸出的小球上的数字之积为无理数的概率为.15.如图图,有一转盘中有A,B两个区域,A区域所对的圆心角为120,让转盘自由转动两次,若指针指向扇形边缘,则重转.则两次指针都落在A区域的概率为.16.定义:十位上的数字比个位、百位上的数字都要小的三位数叫做“V数”,如图967就是一个“V数”.若十位上的数字为4,则从3,5,7,9中任选两数,能与4组成“V数”的概率是.17.一个不透明口袋中有8个黑球和若干个白球,从口袋中随机摸出一个球,记下其颜色,再把它放回去,不断重复上述过程,共摸了2000次,其中有570次摸到黑球,则据此估计口袋中有白球个.三、解答题(本大题共6小题,共49分)18.(8分)不透明的文件袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯,其中红色有3支,黑色有2支.(1)从文件袋中随机抽取1支笔芯,求恰好抽到的是红色笔芯的概率;(2)从文件袋中随机抽取2支笔芯,求恰好抽到的都是黑色笔芯的概率.19.(8分)A,B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片,其中A盒里三张卡片上分别标有数字1,2,3,B盒里三张卡片上分别标有数字4,5,6,这些卡片除数字外其余都相同,将卡片充分摇匀.(1)从A盒里抽取一张卡片,抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是;(2)从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率.20.(8分)在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球(除颜色外其余均相同),其中白球2个、黄球1个,若从中任意摸出一个球是白球的概率是12.(1)求暗箱中红球的个数;(2)先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回,搅匀,再从暗箱中任意摸出一个球,求两次摸到的球颜色不同的概率.(用画树状图或列表的方法求解)21.(8分)2021年,成都将举办世界大学生运动会,这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会.目前,运动会相关准备工作正在有序进行,比赛项目已经确定.某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿,并根据调查结果绘制成了如图下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)这次被调查的同学共有人;(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为;(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者,请利用画树状图或列表的方法,求恰好选中甲、乙两名同学的概率.22.(8分)如图图,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,并分别标有1,2,3,4四个数字;如图图,等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏,游戏的规则:游戏者从圈A起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如图:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈C;若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长,落到圈A.(1)丫丫随机掷一次骰子,她跳跃后落回到圈A的概率为;(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏:丫丫随机投掷一次骰子,甲甲随机投掷两次骰子,都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.23.(9分)在一个不透明的布袋里装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球,记下数字为y.(1)计算由x,y确定的点(x,y)在函数y=-x+5的图象上的概率.(2)小明和小红约定做一个游戏,其规则如图下:若x,y满足xy6,则小明胜;若x,y满足xy6,则小红胜.这个游戏公平吗?说明理由.若不公平,请写出公平的游戏规则.答案1.C2.A解析 画树状图如图图.因为共有6种等可能的结果,从两个口袋中各随机取一个球,取出的两个球都是红球的只有1种结果,所以从两个口袋中各随机取一个球,取出的两个球都是红球的概率为16.3.B解析 错误,试验条件会影响某事件发生的频率;正确;正确;错误,出现“两个正面”“两个反面”的概率为14,出现“一正一反”的概率为12.故选B.4.B解析 画树状图如图图:共有20种等可能的结果,抽到的两人均为O型血的结果有6种,抽到的两人均为O型血的概率为620=310.故选B.5.A解析 根据题意,得9n100%=30%,解得n=30.经检验,n=30是原方程的解,所以估计盒子中小球的个数n为30.故选A.6.D解析 网格中余下的7个格点中,除了大正方形左上方、右上方、右下方的3个点外,其余4个点均能与点A,B构成直角三角形,所以P(使ABC为直角三角形)=47.7.A解析 设小明、小颖、小华分别为甲、乙、丙画树状图如图下:共有6种等可能的结果,抽签后每名选手的出场顺序都发生变化的有2种,抽签后每名选手的出场顺序都发生变化的概率为13.故选A.8.B解析 可列表如图下:第一个转盘和第二个转盘123123423453456P(小刚获胜)=49.故选B.9.B解析 画树状图如图下:由树状图可知,共有16种等可能结果,其中满足|m-n|1的有10种结果,两人“心领神会”的概率是1016=58.故选B.10.D解析 画树状图如图下:共有12种等可能的结果,其中满足=b2-4c=0的结果有1种,则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根的概率为112.故选D.11.35解析 小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%,摸出一个红球的概率约为25,随机从口袋中摸出一个是白球的概率约是35.故答案为35.12.49解析 用A,B,C分别表示平行四边形、菱形、矩形,画树状图如图下:共有9种等可能的结果,抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有4种,两次抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为49.故答案为49.13.16解析 由图可知共有23=6(种)等可能的情况,任选一条路线,这条路线正好是最短路线的情况有1种,所以概率是16.14.23解析 画树状图如图下:由树状图知,共有12种等可能结果,其中两人摸出的小球上的数字之积为无理数的有8种结果,两人摸出的小球上的数字之积为无理数的概率为812=23.故答案为23.15.19解析 将B区域平均分成两部分,画树状图如图下:因为共有9种等可能的结果,两次指针都落在A区域的只有1种结果,所以两次指针都落在A区域的概率为19.16.1217.20解析 利用黑球的个数和黑球出现的机会估计球的总个数.球的总个数为8570200028(个),所以估计口袋中有白球28-8=20(个).18.解析 (1)由不透明的文件袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯,其中红色有3支,黑色有2支,直接利用概率公式求解即可求得答案;(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到的都是黑色笔芯的情况,再利用概率公式即可求得答案.解:(1)因为不透明的文件袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯,其中红色有3支,黑色有2支,所以恰好抽到的是红色笔芯的概率为33+2=35.(2)画树状图如图下:因为共有20种等可能的结果,其中恰好抽到的都是黑色笔芯的有2种结果,所以恰好抽到的都是黑色笔芯的概率为220=110.19.解:(1)23(2)画树状图如图下:共有9种等可能的结果,其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种,抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率为39=13.20.解:(1)设暗箱中红球有x个.由题意得21+2+x=12,解得x=1.经检验,x=1是原方程的根,即暗箱中红球的个数为1个.(2)画树状图如图图:共有16种等可能情况,其中两次摸到的球颜色不同的有10种,P(两次摸到的球颜色不同)=1016=58.21.解:(1)根据题意,得5430%=180(人).故答案为180.(2)根据题意,得360(1-20%-15%-30%)=126.故答案为126.(3)列表如图下:甲乙丙丁甲(乙,甲)(丙,甲)(丁,甲)乙(甲,乙)(丙,乙)(丁,乙)丙(甲,丙)(乙,丙)(丁,丙)丁(甲,丁)(乙,丁)(丙,丁)共有12种等可能的情况,恰好选中甲、乙两名同学的有2种,P(选中甲、乙两名同学)=212=16.22.解:(1)14(2)这个游戏规则不公平.理由如图下:画树状图如图下:共有16种等可能的结果,其中甲甲随机投掷两次骰子,最终落回到圈A的结果数为5,所以甲甲随机投掷两次骰子,最终落回到圈A的概率=516.因为146的有(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),共4种结果,x,y满足xy6的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),共6种结果,所以P(小明胜)=412=13,P(小红胜)=612=12,所以P(小明胜)P(小红胜),所以游戏不公平.公平的游戏规则(不唯一):若x,y满足xy6,则小明胜;若x,y满足xy6,则小红胜.
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