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第一章 分析力学基础,1 分析力学的基本概念 1.1 分析力学的研究对象 约束 1.2 广义坐标 自由度 1.3 虚位移 虚速度 1.3 理想约束,在完整约束的条件下 , 用来确定质点系在空间的位置所需独立坐标的个数 , 称为质点的自由度或自由度。,一个由n个质点组成的质点系在空间内的位置 , 在直角坐标系中需用3n个坐标来确定。如果质点系受有d个完整约束 , 则质点系的3n个坐标必须满足s个约束方程。因此质点系只有k=3n - d 个坐标是独立的。,1.2 广义坐标 自由度,1. 广义坐标,唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标。,2. 自由度,一 广义坐标、自由度,1.2 广义坐标 自由度,对于n个质点的系统，包含d个完整约束，g个非完整约束，广义坐标可记为 坐标与广义坐标的相互转换：,例. 确定右图的广义坐标.,x1 =l1 sin 1 y1 = l1 cos 1 x2 = l1 sin 1 + l2 sin 2 y2 =l1 cos 1 + l2 cos 2,解:可取1和 2为广义坐标来确定系统的位置.这时M1和M2点的直角坐标与广义坐标的关系为:,1.2 广义坐标 自由度,两角坐标可完全确定系统位形,约束方程 用广义坐标表示 一般不存在用广义坐标表示的完整约束方程，得到的恒等式对实际系统分析没有意义,注意：完整系统的约束方程对系统广义坐标没有限制！,例. 分别确定下列结构的自由度和广义坐标.(1)长为l 的刚杆. (2)用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构.(3)用四根长为 l 的刚杆铰接的四边形结构.,(1)约束方程为,(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2,自由度为:,k=22 -1 = 3,广义坐标为: x , y , ,rA = x i + y j,rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j,1.2 广义坐标 自由度,3. 广义速率 定义：广义坐标随时间的变化率 相互转换：,1.2 广义坐标 自由度,二 坐标变分 牛顿的另一大贡献 1 直角坐标变分 真实运动：满足约束方程、动力学方程和初始条件 可能运动：满足约束方程 直角坐标变分 ：某瞬时，真实运动与其相近的可能运动位移之差，即,变分是非时间变量引起的可能位移与真实位移的差异。,1.2 广义坐标 自由度,2 广义坐标变分 广义真实运动：满足约束方程、动力学方程和初始条件 广义可能运动：满足约束方程 广义坐标变分 ：某瞬时，广义真实运动与其相近的广义可能运动差，即,1.2 广义坐标 自由度,三 自由度的完整定义 质点系的自由度：系统独立坐标变分的数目。 1 完整系统 对于n个质点的系统，包含d个完整约束，运动约束方程的一般形式为,可能位移,1.2 广义坐标 自由度,完整系统坐标变分应满足的方程 自由度,完整系统中自由度等于广义坐标的数目，广义坐标的变分都是独立的。,1.2 广义坐标 自由度,2 非完整系统 对于n个质点的系统，包含d个完整约束，g个非完整约束。需要k=3n-d个广义坐标描述系统位形，同时受非完整约束的影响 独立坐标变分数目k-g，广义坐标变分并非独立的。 自由度,变分运算,1.3 虚位移 虚速度,一 实位移 可能位移 1 实位移 定义：质点或质点系在其真实的运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。,1.3 虚位移 虚速度,2 可能位移 质点或质点系只满足其约束条件的运动称为该质点或质点系的可能运动。 定义：在给定的瞬时和位形上，以及给定的时间间隔内，质点或质点系在可能运动中为约束允许的位移称为该质点或质点系的可能位移。,1.3 虚位移 虚速度,二 虚位移 1 虚位移 定义：在给定的瞬时和位形上，在约束允许的条件下，质点或质点系的无限小位移称为该点或质点系的虚位移。,实例. 铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示。画出点A的实位移和虚位移。,dr,d,r1,1,2,r2,在定常的几何约束的情形下 , 约束的性质与 时间无关 , 微小的实位移是虚位移之一。,r,r,对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时 间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.,dr,例. 物块B搁置于三棱体A上,摩擦不计.画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移.,思考：实位移与虚位移的区别？,虚位移是假想的，实位移是实际发生的。 虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。 虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只朝某一方向运动。 质点系静止时，可有虚位移，而无实位移。 虚位移与运动的初始条件无关，而实位移与运动的初始条件有关。 定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对于非定常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允许的无限小位移，而实位移是不能固定时间的，所以虚位移不是实位移中的一个。,1.3 虚位移 虚速度,2 虚位移的几何性质 约束方程在M点的单位法向单位矢量 满足条件,在给定瞬时，将时间和曲面“凝固”后，质点在曲面某点上的虚位移垂直于此曲面在此点的法线，或者说，质点的虚位移位于被“凝固”曲面上某点的切平面内。 所以，虚位移是用来反映约束在给定瞬时性质的几何概念。,1.3 虚位移 虚速度,三 虚位移与可能位移、实位移的关系 对于定常约束的情况下，可能位移、实位移约束方程为， 与虚位移的约束方程形式相同。可把虚位移视为可能发生却尚未发生的可能位移，实位移是众多虚位移中的一个。 对于非定常系统，约束方程形式不同。,例1 空间单摆,约束方程为,在定常约束，虚位移可视为可能位移、实位移是众多位移中的一个。,定常几何约束,例2 变长空间单摆,在非定常约束，实位移是众多可能位移中的一个，虚位移不能视为可能位移，实位移也不是众多虚位移中的一个。,1.3 虚位移 虚速度,四 实速度 可能速度 对n个质点的系统，包含d个完整约束，g个非完整约束。 1 实速度 定义：真是运动的速度。 满足运动微分方程、运动初始条件和约束方程,1.3 虚位移 虚速度,2 可能速度 定义：可能运动中的速度。 只需满足约束方程， 实速度属于可能速度，是众多可能速度中的一个。,1.3 虚位移 虚速度,五 虚速度 定义： 理解：对于完整约束 虚速度的约束方程：,可通过两可能速度满足的约束方程之差得到，也可这样理解虚速度：在同一瞬时，同一位形上，可能速度的有限变更。,1.3 虚位移 虚速度,五 虚速度 虚速度的性质： 1 虚速度是非时间参量的变化引起的； 2 几何形式和虚位移相同； 3 在定常约束情况下，虚速度可视为可能发生、却未发生的可能速度，实速度是众多可能速度中的一个； 4 在非定常约束情况下，虚速度不能视为可能发生、却未发生的可能速度，但实速度仍是众多可能速度中的一个。,1.3 虚位移 虚速度,六 用广义坐标表示的虚位移和虚速度 1 完整系统的情形 对于n个质点的系统，包含d个完整约束。自由度f等于广义坐标的数目k=3n-d，如果选取合适的k个独立广义坐标 使得 进行变分运算可得,1.3 虚位移 虚速度,定义：广义坐标的虚速度 则可得,1.4 理想约束,一 约束力,在非自由质点系中，各质点的不能像自由质点那样自由地运动，只能在约束允许的条件内运动。约束对质点或质点系的限制，在力学中归结为约束力的作用。约束对非自由质点系的各质点施加约束力，与此同时，各质点对约束施加作用力。,二 理想约束 定义：约束力在质点系的任何虚位移中所做功的元功之和等于零。,1.4 理想约束,三 几种比较典型的理想约束 1 光滑面 1) 光滑固定面 曲面约束方程为 允许质点在曲面某一位置的切平面内运动，限制法线方向的运动。 于是光滑固定面的约束中，质点所受的约束力N只可能沿该曲面的法线方向。 单位法向矢量,1.4 理想约束,光滑固定面对于质点的约束力可表示为 式中，N表示约束力的大小。 于是,理想约束，包括：光滑铰链支座、辊轴支座、滑道约束以及摩擦可忽略的固定约束。,？,1.4 理想约束,2) 光滑运动面 质点在光滑曲面上运动，光滑曲面又随时间运动,属于非定常几何约束，约束方程可表示为 在某一时刻，虚功也可表示为,理想约束，曲线可视为两曲面的交线，光滑的曲线也是理想约束。,1.4 理想约束,2 刚性连接 约束方程为 等时变分 直角坐标变分满足的约束方程。 质点A和B的约束力： 刚杆为二力杆,1.4 理想约束,点A和B的虚位移为 约束力对虚位移做的元功之和为 理想约束。A、B点非理想约束，整体为理想约束。,3 柔索连接,1.4 理想约束,4 滚动接触的刚体 1) 刚体在固定轨道上滚动 约束方程为 定常 接触点的实位移 虚位移 约束力在虚位移上的元功之和为 理想约束。,1.4 理想约束,4 滚动接触的刚体 2) 两运动刚体之间的滚动 齿轮传动机构的约束方程为 定常运动约束 接触点的相互作用力为一对作用和反作用力 约束力在虚位移上的元功之和为 理想约束。包括：两刚体接触表面之间无相对滑动的滚动、各种滚动轴承、车轮以及滚动摩擦可忽略的滚动约束,1.4 理想约束,由DAlembert和lagrange开创的非自由质点系动力学基于约束的理想性假定。根据这个假定所建立的虚位移原理以及动力学普遍方程中消除了约束反力，从而简化问题。可见，理想约束假定的重要性。 理想约束假定也是完全可能的。首先，为描述自然现象和大多数技术过程，这样的假定有足够的精确度。例如，复杂的机构可看作刚体系统，其中刚体两两之间或刚性联结，或以铰链联结，或以其表面相接触。如果认为所有刚性联结是绝对刚性的，铰链是理想的，而所有接触面或是理想光滑的，或是完全祖糙的，则任何复杂机构均可当作具有理想约束的质点系统。,1.4 理想约束,理想约束普遍存在于现实问题当中 但也存在非理想的约束，例如，摩擦力作虚功，则可将摩擦力归为主动力范畴来考虑。可将对虚位移做功不为零的摩擦力看作外力，这时非理想约束可看作理想约束。由于未知量摩擦力的出现而缺少的方程则要用摩擦定律来补充。 课程中如果无特殊说明，都为理想约束。,作业,如思考题1-1中图1-11所示平面机构，试写出它的约束方程，求出它的自由度，并给出一组广义坐标,
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