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第2节等差数列及其前n项和,最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.,1.等差数列的概念,(1)如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示. 数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数).,知 识 梳 理,2,同一个常数,公差,2.等差数列的通项公式与前n项和公式,(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_. 通项公式的推广：anam_ (m，nN*). (2)等差数列的前n项和公式,a1(n1)d,(nm)d,3.等差数列的有关性质,已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和. (1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq. (2)等差数列an的单调性：当d0时，an是_数列；当d0时，an是_数列；当d0时，an是_. (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列. (4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.,递增,递减,常数列,md,5.等差数列的前n项和的最值,在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值.,大,小,常用结论与微点提醒,1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.,诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.() (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.() (4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.() (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(),解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数. (5)若公差d0，则前n项和不是二次函数. 答案(1)(2)(3)(4)(5),2.在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于() A.1 B.0 C.1 D.6 解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B. 答案B,3.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为() A.1 B.2 C.4 D.8,答案C,解析由题意知，a1a17，又因为d0，所以a1a17，故a18d，a90，ana1(n1)d(n9)d，当an0时，n9，所以当n8或9时，Sn取最大值. 答案A,5.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_. 解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案180,6.(2018湖州调研)设等差数列an的公差是d，前n项和是Sn.若a11，a59，则公差d_，Sn_.,答案2n2,考点一等差数列基本量的运算,【例1】 (1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100() A.100 B.99 C.98 D.97,(2)(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为() A.24 B.3 C.3 D.8,答案(1)C(2)A,规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_. (2)(2015浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.,解析(1)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，,即S66a115d30.,考点二等差数列的判定与证明(变式迁移),(1)证明当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0. SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0， 即SnSn12(SnSn1)0.,规律方法等差数列的四种判断方法： (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立. (3)通项公式法：验证anpnq. (4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.,【训练2】 (2017江苏卷)对于给定的正整数k，若数列an满足：ankank1an1an1ank1ank2kan，对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列an是“P(3)数列”； (2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列.,证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d， 则ana1(n1)d， 从而，当n4时， ankanka1(nk1)da1(nk1)d 2a12(n1)d2an，k1，2，3， 所以an3an2an1an1an2an36an， 因此等差数列an是“P(3)数列”.,(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n3时，an2an1an1an24an， 当n4时，an3an2an1an1an2an36an. 由知，an3an24an1(anan1)， an2an34an1(an1an). 将代入，得an1an12an，其中n4， 所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d. 在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d， 在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d， 所以数列an是等差数列.,考点三等差数列的性质及应用,【例3】 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() A.5 B.7 C.9 D.11,答案(1)A(2)A(3)4 034,【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为() A.13 B.12 C.11 D.10 (2)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_. 解析(1)因为a1a2a334，an2an1an146， a1a2a3an2an1an34146180， 又因为a1ana2an1a3an2， 所以3(a1an)180，从而a1an60，,(2)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510. 答案(1)A(2)10,考点四等差数列前n项和及其最值,【例4】 (1)(一题多解)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是() A.5 B.6 C.7 D.8 (2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.,解析(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时Sn最大.,法二由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大. (2)由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130. 答案(1)C(2)130,规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； (3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.,答案(1)B(2)C,
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