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第二篇重点专题分层练，中高档题得高分,第13练空间中的平行与垂直中档大题规范练,明晰考情 1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明. 2.题目难度：低档难度.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一空间中的平行关系,方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系. (2)证明过程中要严格遵循定理中的条件，注意推证的严谨性.,核心考点突破练,证明,1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.,证明如图所示，作MEBC交BB1于点E，作NFAD交AB于点F，连结EF，则EF平面AA1B1B. MEBC，NFAD，,在正方体ABCDA1B1C1D1中， CMDN，B1MNB. 又B1CBD，,又MEBCADNF， 四边形MEFN为平行四边形， MNEF. 又EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B， MN平面AA1B1B.,2.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在？请说明理由.,解答,解存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下： ABCD，AB2CD，AFCD且AFCD， 四边形AFCD是平行四边形，ADCF. 又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1， CF平面ADD1A1. 又CC1DD1，CC1平面ADD1A1， DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1. 又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC， 平面C1CF平面ADD1A1.,考点二空间中的垂直关系,方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直定义. (2)利用线面垂直的判定定理，一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直. (3)利用线面垂直的性质，两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面. (4)利用面面垂直的性质定理，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.,证明,3.如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点. 求证：(1)AF平面BCE；,证明如图，取CE的中点G，连结FG，BG.,AB平面ACD，DE平面ACD， ABDE，GFAB.,四边形GFAB为平行四边形，AFBG. AF平面BCE，BG平面BCE， AF平面BCE.,(2)平面BCE平面CDE. 证明ACD为等边三角形，F为CD的中点， AFCD. DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF. 又CDDED，CD，DE平面CDE， 故AF平面CDE. BGAF，BG平面CDE. BG平面BCE，平面BCE平面CDE.,证明,4.如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC. (1)求证：AE平面DBC；,证明,证明过点D作DOBC，垂足为O. 平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC. 又AE平面ABC， 则AEDO. 又AE平面DBC，DO平面DBC， 故AE平面DBC.,证明,(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.,证明由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC， DOAB. 又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC， AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC. 又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD， 则DC平面ABD. 又AD平面ABD，故可得ADDC.,考点三平行和垂直的综合应用,方法技巧空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.,证明,5.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点. 求证：(1)直线EF平面PCD；,证明在PAD中， E，F分别为AP，AD的中点， EFPD. 又EF平面PCD，PD平面PCD， 直线EF平面PCD.,证明,(2)平面BEF平面PAD.,证明如图，连结BD.,ABAD，BAD60， ADB为正三角形. F是AD的中点， BFAD. 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD， BF平面PAD. 又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.,证明,6.由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.,(1)证明：A1O平面B1CD1；,证明取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1， 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C. 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O平面B1CD1.,证明,(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.,证明因为ACBD，E，M分别为AD 和OD的中点，所以EMBD， 又A1E平面ABCD，BD平面ABCD， 所以A1EBD. 因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1. 又A1E，EM平面A1EM，A1EEME， 所以B1D1平面A1EM. 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM平面B1CD1.,模板答题规范练,模板体验,典例(14分)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧面PAD底面ABCD，PAAD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点. (1)求证：EF平面PAD； (2)求证：平面PAH平面DEF.,审题路线图,规范解答评分标准 证明(1)取PD的中点M，连结FM，AM. 在PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，,AEFM且AEFM， 则四边形AEFM为平行四边形， AMEF.4分,又EF平面PAD， AM平面PAD， EF平面PAD. 6分 (2)侧面PAD底面ABCD， PAAD， 侧面PAD底面ABCDAD， PA底面ABCD. DE底面ABCD，DEPA. E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点， RtABHRtDAE，则BAHADE，,BAHAED90， 则DEAH.10分 PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA， DE平面PAH.12分 DE平面DEF， 平面PAH平面DEF.14分,构建答题模板 第一步找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. 第二步找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. 第三步找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. 第四步写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.,规范演练,证明,1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1， CAAB，M为CB1的中点. (1)求证：AC平面MA1B；,证明如图，设AB1与A1B的交点为O，连结OM. 因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，所以O为AB1的中点. 因为M为CB1的中点，所以OM是ACB1的中位线， 所以OMAC.,因为OM平面MA1B，AC平面MA1B，所以AC平面MA1B.,(2)求证：平面CAB1平面MA1B.,证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， 因为CA平面ABC，所以CAAA1， 因为CAAB，ABAA1A，AB，AA1平面ABB1A1， 所以CA平面ABB1A1. 因为A1B平面ABB1A，所以CAA1B. 因为在平行四边形ABB1A1中，AA1AB，ABAA1， 所以四边形ABB1A1是正方形，所以A1BAB1. 因为CA，AB1平面CAB1，CAAB1A，所以A1B平面CAB1. 因为A1B平面MA1B，所以平面CAB1平面MA1B.,证明,2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，O为AC与BD的交点. (1)求证：OE平面PCD；,证明,证明因为底面ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点， 所以O为AC的中点， 又E为侧棱PA的中点， 所以OE为ACP的中位线，所以OEPC， 因为PC平面PCD，OE平面PCD， 所以OE平面PCD.,证明,(2)若DECD，PDAD，求证：平面APD平面PAB.,证明因为底面ABCD为平行四边形， 所以CDAB， 又DECD，所以DEAB. 因为PDAD，E为侧棱PA的中点， 所以DEAP. 又AP平面PAB，AB平面PAB，APABA， 所以DE平面PAB， 又DE平面APD， 所以平面APD平面PAB.,证明,3.(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.,求证：(1)AB平面A1B1C；,证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1. 因为AB平面A1B1C， A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C.,(2)平面ABB1A1平面A1BC.,证明,证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC. 又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC， 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1平面A1BC.,4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.求证： (1)PEBC；,证明,证明因为PAPD，E为AD的中点， 所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.,(2)平面PAB平面PCD；,证明,证明因为底面ABCD为矩形， 所以ABAD. 又因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD， 所以AB平面PAD， 又PD平面PAD，所以ABPD. 又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB， 所以PD平面PAB. 又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.,证明,(3)EF平面PCD.,证明如图，取PC的中点G，连结FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点，,因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，,所以DEFG，DEFG. 所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG. 又因为EF平面PCD，DG平面PCD， 所以EF平面PCD.,本课结束,
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