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第4讲导数的热点问题,专题六函数与导数,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.,热点一利用导数证明不等式,解答,例1(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立. (1)求实数a的值；,解由f(x)ex(aexax)0对于xR恒成立， 设函数g(x)aexax， 可得g(x)aexax0对于xR恒成立， g(0)0，g(x)g(0)， 从而x0是g(x)的一个极小值点， g(x)aex1，g(0)a10，即a1. 当a1时，g(x)ex1x，g(x)ex1， x(，0)时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增， g(x)g(0)0，故a1.,证明,证明当a1时，f(x)e2xexxex， f(x)ex(2exx2). 令h(x)2exx2，则h(x)2ex1， 当x(，ln 2)时，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数， h(1)0， 在(2，1)上存在xx0满足h(x0)0， h(x)在(，ln 2)上为减函数， 当x(，x0)时，h(x)0， 即f(x)0，f(x)在(，x0)上为增函数，,当x(x0，ln 2)时，h(x)h(0)0， 即f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数， f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点0， 综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0， 且x0(2，1).,h(x0)0，2 x020，,用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m). (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.,解答,跟踪演练1(2018荆州质检)已知函数f(x)axln x. (1)讨论f(x)的单调性；,当a0时，则f(x)0时，,综上当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,证明,证明令g(x)f(x)2axxeax1 xeax1axln x，,设r(x)xeax11(x0)， 则r(x)(1ax)eax1(x0)， eax10，,h(t)h(e2)0； g(x)0，故f(x)2axxeax1.,热点二利用导数讨论方程根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.,解答,例2(2018衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)ex2aln(xa)，aR，e为自然对数的底数. (1)若a0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；,解函数f(x)在0，)内单调递增，,即aexx在0，)内恒成立. 记g(x)exx， 则g(x)ex10恒成立， g(x)在区间0，)内单调递减， g(x)g(0)1，a1， 即实数a的取值范围为1，).,解答,知f(x)在区间(a，)内单调递增.,f(x)在区间(a，)内存在唯一的零点x0，,当ax0时，f(x)0，f(x)单调递增. f(x)minf(x0) 2aln (x0a),当且仅当x0a1时，取等号.,f(x)minf(x0)0，即函数f(x)没有零点.,(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题. (2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.,跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)exax2. (1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；,证明,证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10. 设函数g(x)(x21)ex1， 则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex. 当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减. 而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.,(2)若f(x)在(0，)上只有一个零点，求a.,解答,解设函数h(x)1ax2ex. f(x)在(0，)上只有一个零点等价于h(x)在(0，)上只有一个零点. ()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点； ()当a0时，h(x)ax(x2)ex. 当x(0,2)时，h(x)0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增.,因为h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点； 由(1)知，当x0时，exx2，,故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0，)上有两个零点.,生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.,热点三利用导数解决生活中的优化问题,解答,例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；,解设需新建n个桥墩，,解答,(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？,令f(x)0，得 64，所以x16. 当00，f(x)在区间(16,96)内为增函数， 所以f(x)在x16处取得最小值，,答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小.,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)作答：回归实际问题作答.,解答,跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy. (1)写出y关于x的函数表达式， 并指出x的取值范围；,解易知半圆CmD的半径为x， 故半圆CmD的弧长为x. 所以42x2yx，,解答,(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.,8x2(43)x3. 令T16x3(43)x20，,真题押题精练,(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx. (1)讨论f(x)的单调性；,真题体验,解答,解f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1). (i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.,(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.,解答,解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点. (ii)若a0，由(1)知，当xln a时，,即f(ln a)0，故f(x)没有零点；,当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；,又f(2)ae4(a2)e222e220， 故f(x)在(，ln a)上有一个零点.,因此f(x)在(ln a，)上有一个零点. 综上，a的取值范围为(0,1).,则f(n0) (a a2)n0 n0 n00.,押题预测,已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数. (1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；,押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.,证明,押题依据,证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，,acos(1x)0， 故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数.,证明,证明由(1)知，当a1时， G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增. sin(1x)ln xG(1)0，,解答,(3)设F(x)g1(x)mx22(x1)b，若对任意的x0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.,解由对任意的x0，m0恒成立， 即当x(0，)时，F(x)min0. 又设h(x)F(x)ex2mx2， h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0， 则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0， F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，,b 2x02,又m0，则x0(0，ln 2)，,m(x)在(0，ln 2)上单调递增，,m(x)在(0，ln 2)上单调递增， m(x)m(ln 2)2ln 2， b2ln 2，又b为整数， 最小整数b的值为2.,
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