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第4讲导数的热点问题,专题六函数与导数,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.,热点一利用导数证明不等式,解答,例1(2018全国)已知函数f(x)aexln x1. (1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；,当02时，f(x)0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2).,证明,当01时，g(x)0. 所以x1是g(x)的最小值点. 故当x0时，g(x)g(1)0.,用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m). (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.,解答,(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；,f(0)2，f(0)1. 因此曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程是2xy10.,证明,(2)证明：当a1时，f(x)e0.,证明当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex. 令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1. 当x1时，g(x)0，g(x)单调递增. 所以g(x)g(1)0. 因此f(x)e0.,热点二利用导数讨论方程根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.,解答,(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；,解函数f(x)的定义域为(，)，,当k0时，令f(x)0，解得x0， 令f(x)0，解得x0， 令f(x)0，解得ln kx0，,单调递减区间是(ln k,0).,解答,(2)当k0时，讨论函数f(x)的零点个数.,解f(0)1，,又f(x)在0，)上单调递增， 所以函数f(x)在0，)上只有一个零点. 在区间(，0)中，,又f(x)在(，0)上单调递减， 故f(x)在(，0)上也只有一个零点， 所以函数f(x)在定义域(，)上有两个零点； 当k0时，f(x)(x1)ex在单调递增区间0，)内，只有f(1)0. 而在区间(，0)内，f(x)0， 即f(x)在此区间内无零点. 所以函数f(x)在定义域(，)上只有唯一的零点. 综上所述，当k0时，函数f(x)有两个零点，当k0时，f(x)只有一个零点.,(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题. (2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.,跟踪演练2(2018天津)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列. (1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,解答,解由已知，可得f(x)x(x1)(x1)x3x， 故f(x)3x21.因此f(0)0，f(0)1. 又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)， 故所求切线方程为xy0.,(2)若d3，求f(x)的极值；,解答,解由已知可得 f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)39(xt2),当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,g(x)3x2(1d2). 当d21时，g(x)0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意.,当d21时，,可得g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，)上单调递增.所以g(x)的极大值为,g(x)的极小值为,若g(x2)0，则由g(x)的单调性可知函数yg(x)至多有两个零点，不合题意.,若g(x2)27，也就是|d| ，,从而由g(x)的单调性，可知函数yg(x)在区间(2|d|，x1)，(x1，x2)，(x2，|d|)内各有一个零点，符合题意.,生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.,热点三利用导数解决生活中的优化问题,解答,例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；,解设需新建n个桥墩，,解答,(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？,令f(x)0，得 64，所以x16. 当00，f(x)在区间(16,96)内为增函数， 所以f(x)在x16处取得最小值，,答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小.,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)作答：回归实际问题作答.,解答,跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy. (1)写出y关于x的函数表达式， 并指出x的取值范围；,解易知半圆CmD的半径为x， 故半圆CmD的弧长为x. 所以42x2yx，,解答,(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.,8x2(43)x3. 令T16x3(43)x20，,真题押题精练,(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx. (1)讨论f(x)的单调性；,真题体验,解答,解f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1). (i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.,(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.,解答,解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点. (ii)若a0，由(1)知，当xln a时，,即f(ln a)0，故f(x)没有零点；,当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；,又f(2)ae4(a2)e222e220， 故f(x)在(，ln a)上有一个零点.,因此f(x)在(ln a，)上有一个零点. 综上，a的取值范围为(0,1).,则f(n0) (a a2)n0 n0 n00.,押题预测,已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数. (1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；,押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.,证明,押题依据,证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，,acos(1x)0， 故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数.,证明,证明由(1)知，当a1时， G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增. sin(1x)ln xG(1)0，,解答,(3)设F(x)g1(x)mx22(x1)b，若对任意的x0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.,解由对任意的x0，m0恒成立， 即当x(0，)时，F(x)min0. 又设h(x)F(x)ex2mx2， h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0， 则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0， F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，,b 2x02,又m0，则x0(0，ln 2)，,m(x)在(0，ln 2)上单调递增，,m(x)在(0，ln 2)上单调递增， m(x)m(ln 2)2ln 2， b2ln 2，又b为整数， 最小整数b的值为2.,
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