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第3节数学归纳法及其应用,最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN+)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,知 识 梳 理,第一个值n0(n0N+),nk1,2.数学归纳法的框图表示,常用结论与微点提醒 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法. 3.解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n1时结论成立.() (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.() (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.() (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),诊 断 自 测,解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n2)180，第一步要验证n3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项. 答案(1)(2)(3)(4),解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3. 答案C,3.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时，应得到() A.12222k22k12k11 B.12222k2k12k12k1 C.12222k12k12k11 D.12222k12k2k11 解析观察可知等式的左边共n项，故nk1时，应得到12222k12k2k11. 答案D,解析由nk到nk1时，左边增加(k1)2k2. 答案B,5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN+)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真. 解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1. 答案2k1,规律方法用数学归纳法证明等式应注意的两个问题 (1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值. (2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.,【迁移探究1】 在例2中把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN+时，an1an.,规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.,规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN+，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.,
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