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第一节 定积分的概念,一、问题的提出,二、定积分的定义,三、几何意义,四、小结 思考题,砖是直边的长方体,烟囱的截面是弯曲的圆,“直的砖”砌成了“弯的圆”,局部以直代曲,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,小曲边梯形的底：,小曲边梯形的高：,小曲边梯形的面积：,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,例 1 求在区间 0, 1 上，以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积,解,分割：,因为定积分存在，对区间 0, 1 取特殊的分割,将区间 0, 1 等分成 n 等份, 分点为,每个小区间的长度,取,则有,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,间间隔 上 t 的一个连续函数，且,求物体在这段时间内所经过的路程,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,三 定积分的几何意义.,当 f (x) 0，定积分,的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积,当函数 f (x) 0 ， xa, b 时 定积分,就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,规定：,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,练 习 题,练习题答案,四、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3.定积分的几何意义及简单应用,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,Newton, Isaac (1642-1727) England,Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) German,
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