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第3节平面向量的数量积及其应用,考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.,知 识 梳 理,1.平面向量数量积的有关概念,|a|b|cos ,|b|cos ,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示,3.平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律). (2)ab(ab)a(b)(结合律). (3)(ab)cacbc(分配律). 微点提醒 1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.() (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.() (4)若abac(a0)，则bc.() 解析(1)两个向量夹角的范围是0，. (4)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相等. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量.“ab|a|b|”是“ab”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析设a与b的夹角为.因为ab|a|b|cos |a|b|，所以cos 1，即a与b的夹角为0，故ab. 当ab时，a与b的夹角为0或180， 所以ab|a|b|cos |a|b|， 所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件. 答案A,答案1,4.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)() A.4 B.3 C.2 D.0 解析a(2ab)2|a|2ab212(1)3. 答案B,5.(2018上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45，a(1，1)，|b|2，则|3ab|等于(),答案D,6.(2017全国卷)已知向量a(1，2)，b(m，1).若向量ab与a垂直，则m_. 解析由题意得ab(m1，3)， 因为ab与a垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得m7. 答案7,考点一平面向量数量积的运算,【例1】 (1)若向量m(2k1，k)与向量n(4，1)共线，则mn(),A.15 B.9 C.6 D.0,答案(1)D(2)C,规律方法1.数量积公式ab|a|b|cos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式abx1x2y1y2求解，较为简捷、明了. 2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.,考点二平面向量数量积的应用多维探究 角度1平面向量的垂直 【例21】 (1)(2018北京卷)设向量a(1，0)，b(1，m).若a(mab)，则m_.,解析(1)a(1，0)，b(1，m)，a21，ab1， 由a(mab)得a(mab)0，即ma2ab0. m(1)0，m1.,答案(1)1(2)A,规律方法1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算. 2.数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.,角度2平面向量的模 【例22】 (1)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_.,(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)， 设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).,角度3平面向量的夹角,解析(1)将|ab|ab|两边平方，得a2b22aba2b22ab，ab0.,设ab与ab的夹角为，,(2)2a3b与c的夹角为钝角， (2a3b)c0， 即(2k3，6)(2，1)0，解得k3. 又若(2a3b)c，,此时2a3b与c反向，不合题意.,【训练2】 (1)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_. (2)(一题多解)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,解析(1)由ab，得ab0， 又a(2，3)，b(3，m)， 63m0，则m2.,法二(数形结合法),(3)由题意知|e1|e2|1，e1e20，,考点三平面向量与三角函数,解得c1，c7舍去，,规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,【训练3】 (2019石家庄模拟)已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且mnsin 2C. (1)求角C的大小；,解(1)由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)， 因为ABC， 所以sin(AB)sin(C)sin C， 所以mnsin C，又mnsin 2C，,(2)由已知及正弦定理得2cab.,所以abcos C18，所以ab36. 由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab 所以c24c2336， 所以c236，所以c6.,思维升华 1.计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法 利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 易错防范 数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(ab)c不一定等于a(bc).,数学运算、数学建模平面向量与三角形的“四心”,1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.,设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则,类型1平面向量与三角形的“重心”,点P的轨迹一定经过ABC的重心. 答案C,类型2平面向量与三角形的“内心”问题,解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍. 在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.,设ABC的内切圆的半径为r，则,答案B,类型3平面向量与三角形的“垂心”问题,即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心. 答案B,类型4平面向量与三角形的“外心”问题,答案A,
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