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7.2等差数列及其前n项和,第七章数列与数学归纳法,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .,ZHISHISHULI,公差,从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,d,ana1(n1)d,3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 . 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 .,(nm)d,akalaman,等差中项,(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 的等差数列. (6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.,2d,md,5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或Sn . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值.,大,小,【概念方法微思考】,提示充要条件.,2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？,提示不一定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数.,3.如何推导等差数列的前n项和公式？,提示利用倒序相加法.,题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.() (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.() (4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.() (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.() (6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.(),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编 2.P46A组T2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 A.31 B.32 C.33 D.34,1,2,3,4,5,6,3.P39T5在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.,180,1,2,3,4,5,6,解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450， a590， a2a82a5180.,题组三易错自纠,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.,8,解析因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a90，所以a90. 故当n8时，其前n项和最大.,解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.,6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过_秒落到地面.,1,2,3,4,5,6,20,即4.90t21 960，解得t20.,2,题型分类深度剖析,PART TWO,题型一等差数列基本量的运算,1.(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,自主演练,解析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，,将a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.故选B.,2.(2018湖州德清县、长兴县、安吉县期中)已知等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，若a44，a2a810，则d_，an_.,解析由题意得a2a82a510，所以a55， 则等差数列an的公差da5a4541，ana4(n4)dn.,1 n,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.,题型二等差数列的判定与证明,例1在数列an中，a12，an是1与anan1的等差中项.,师生共研,解an是1与anan1的等差中项，,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2. (3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列.,跟踪训练1(2018温州市高考适应性测试)已知数列an的前n项积为Tn，且Tn1an.,题型三等差数列性质的应用,命题点1等差数列项的性质 例2已知an为等差数列，a2a818，则an的前9项和S9等于 A.9 B.17 C.72 D.81,多维探究,解析由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，,命题点2等差数列前n项和的性质 例3(1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于 A.35 B.42 C.49 D.63,解析在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列， 即7,14，S1521成等差数列， 所以7(S1521)214， 解得S1542.,等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an.,跟踪训练2(1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差d等于 A.0 B.1 C.1 D.2,解析a3a5a7 3a515， a55，a5a233d， 可得d1，故选B.,(2)(2018金华模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，则Sn取最大值时n的值为 A.6 B.7 C.8 D.13,解析根据S130，S140，a1a14a7a80，a80， 所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S23，S4S631，则S8S10等于 A.91 B.85 C.78 D.55,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一设an的公差为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二因为an是等差数列，所以可设Snan2bn，则,2.(2018嘉兴基础测试)在等差数列an中，a13，a1a2a321，则a3a4a5等于 A.45 B.42 C.21 D.84,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根据等差数列的性质，可得a1a2a33a221，a27， 设等差数列an的公差为d， 又a13，d4， a3a4a53a43a26d212445，故选A.,3.(2018温州市适应性测试)已知数列an是公差不为0的等差数列，bn2an，数列bn的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则 A.ABC B.B2AC C.(AB)CB2 D.(BA)2A(CB),解析令ann，则bn2n，设数列bn的前n项和为Sn， 令AS12， 则BS221226，CS321222314，可以排除选项A，B，C，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184,解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.,由等差数列通项公式得a865(81)17184.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018浙江杭州二中期中)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An 和Bn，且 ，则使得为整数的正整数n的个数是 A.5 B.4 C.3 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由等差数列前n项和性质知，,6.在等差数列an中，若 0时，n的最小值为 A.14 B.15 C.16 D.17,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值， 公差d0，首项a10，an为递增数列.,由等差数列的性质知，2a8a1a150.,7.(2018绍兴教学质量调测)已知数列an中，a33，an1an2，则a2a4_，an_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6 2n3,解析因为an1an2，所以an为等差数列， 所以公差d2， 由a12d3得a11， 所以an1(n1)22n3，a2a42a36.,8.在等差数列an中，若a7 ，则sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13_.,解析根据题意可得a1a132a7， 2a12a134a72， 所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析依题意得a6S6S50，a7S7S60，则使an0的最大正整数n6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018浙江省部分重点中学调研)设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7 S5，则使an0的最大正整数n_，满足SkSk10的正整数k_.,6 12,所以S12S130，即满足SkSk10的正整数k12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(n23n3)2,an(n23n3)2，n1时也成立. an(n23n3)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：数列bn是等差数列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求an和Sn；,a4a2(a3a5)2a4， 因此有1a22，a23，2d4，d2，a15， 因此有an2n7，Snn26n.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,易知仅当t1时，n为正整数，m为正整数， 因此可得m2时成立.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(tan a8tan a7tan a7tan a6tan a2tan a1)7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018宁波模拟)已知an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，且Ananbn，Bnanbn，若A11，A23，则An_；若Bn为等差数列，则d1d2_.,2n1,0,解析因为an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，所以An也为等差数列，所以An1(n1)22n1， Bna1(n1)d1b1(n1)d2 d1d2n2(a1d2b1d12d1d2)n(a1d1)(b1d2)， 因为Bn为等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d1d20.,15.(2019绍兴期中)已知数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意nN*，都有anan1，若a11，a22，且数列an的前10项和S1075，则d1_，a8_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3 11,解析因为a11，a22，所以a31d1，a42d2，a512d1， 对任意nN*，都有ana2，即1d12，解得d11；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以d1d26，所以d26d1，,又d1，d2为整数，所以d13，所以d23. 所以a82(41)d223311.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a13a2(2n1)an2n， 所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当n1时，a12，符合上式，,所以b13b23n1bn3n， 所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)， 两式相减得bn32n(n2，nN*). 当n1时，b13，符合上式， 所以bn32n(nN*). 所以cn(2k)n2k1. 因为对任意的正整数n都有SnS6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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