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第四章 三角函数、解三角形,4.1任意角、弧度制及任意角 的三角函数,知识梳理,双击自测,1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类,(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 . (4)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是.如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.,端点,正角 负角 零角,象限角,S=|=+k360,kZ,第几象限角,知识梳理,双击自测,2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:,半径长,|r,知识梳理,双击自测,3.任意角的三角函数 (1)三角函数定义:设P(x,y)是角终边上任一点,且|PO|=r(r0),则有 ,它们都是以角为,以比值为的函数. (2)三角函数符号:三角函数在各象限内的正值口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.,自变量,函数值,知识梳理,双击自测,(3)三角函数的几何意义(三角函数线):如图所示,各象限内的正弦线为、余弦线为、正切线为.,MP,OM,AT,知识梳理,双击自测,1.已知角=45+k180,kZ,则角的终边落在() A.第一或第三象限B.第一或第二象限 C.第二或第四象限D.第三或第四象限,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是() A.1B.4C.1或4D.2或4,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.如果sin 0,且cos 0,那么是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为 弧度.,答案,解析,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.将角的概念推广到任意角后,角既有大小之分又有正负之别,按逆时针旋转的为正角,按顺时针旋转的为负角.角度制与弧度制不能在同一式子中出现. 2.当判定角的终边所在的象限时,要注意对k进行分类讨论.,考点一,考点二,考点三,象限角、三角函数值的符号判断(考点难度),【例1】 (1)若是第三象限的角,则- 是() A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)终边落在射线y= x(x0)上的角构成的集合有以下四种表示形式:,其中正确的是() A.B.C.D.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(3)给出下列命题: 第二象限角大于第一象限角; 三角形的内角是第一象限角或第二象限角; 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; 若sin =sin ,则与的终边相同; 若cos 0,则是第二象限或第三象限的角. 其中正确命题的个数是() A.1B.2C.3D.4,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用终边相同的角的集合S=|=2k+,kZ判断一个角所在的象限时,只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和,然后判断角的象限. 2.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知三角函数式符号判断角所在象限时,可分两步进行:第一步,根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号;第二步,判断角所在象限.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知角和角的终边关于直线y=x对称,且=- ,则角=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)如果点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,试判断角所在的象限; 若角是第二象限角,试判断sin(cos )的符号.,解:因为点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,所以sin(cos )0.所以sin(cos )的符号是负号.,考点一,考点二,考点三,扇形弧长、面积公式的应用(考点难度) 【例2】 已知一扇形的圆心角为,半径为R,弧长为l. (1)若=60,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?,考点一,考点二,考点三,(3)由已知得,l+2R=20.,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,=2.,方法总结1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 2.求扇形面积的最值应从扇形面积公式出发,在弧度制下使问题转化为关于的函数,利用基本不等式或二次函数求最值的方法求最值.,考点一,考点二,考点三,对点训练已知一扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,则该扇形圆心角的弧度数=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,三角函数定义的应用(考点难度) 考情分析从近五年高考来看,单独考查三角函数定义的问题比较少且难度较低;常结合三角函数的基础知识及三角恒等变形进行考查,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)直接应用三角函数定义求三角函数值;(2)利用三角函数的几何意义,即三角函数线求三角不等式中角的范围.,考点一,考点二,考点三,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)已知角的终边经过点P(- ,m)(m0),且sin = m,试判断角所在的象限,并求cos 和tan 的值.,考点一,考点二,考点三,类型二利用三角函数线解三角不等式,答案,解析,考点一,考点二,考点三,答案,解析,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用三角函数定义求角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时要注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同). 2.利用三角函数线解三角不等式的步骤:(1)确定区域的边界;(2)确定区域;(3)写出解集.,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017浙江绍兴市期中改编)设是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos = x,则tan =.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,(2)(2018绍兴模拟)已知角A是ABC的一个内角,且tan A- 0,则sin A的取值范围是(),答案,解析,审题指导挖掘隐含条件寻找等量关系 审题是答题过程中的第一步,是做好题的基础.审题过程中不但要弄清楚题目所给已知条件,还要挖掘其隐含条件.,【典例】 如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为.,审题要点:(1)已知条件:滚动后的圆心坐标(2,1)和圆半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:点P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:如图,求点P坐标可借助已知的点C的坐标(2,1),寻求C点纵、横坐标增(减)多少单位长度来求P点纵、横坐标,通过在直角三角形中利用三角函数定义求增(减)的量.,答案:(2-sin 2,1-cos 2) 解析:如图,作CQx轴,PQCQ,Q为垂足.根据题意得劣弧 =2,则DCP=2.,答题指导1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决. 2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.,对点训练 如图,A,B是单位圆上的两个质点,点B坐标为(1,0),BOA=60.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动. (1)求经过1 s后,BOA的弧度. (2)求质点A,B在单位圆上第一次相遇所用的时间.,高分策略1.锐角一定是小于90的角,但小于90的角不一定是锐角. 2.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等. 3.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制. 4.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情况. 5.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.,
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