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第14课时三角形与全等三角形,考点梳理,自主测试,考点一三角形的有关概念 1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形. 2.分类,考点梳理,自主测试,考点二三角形的性质 1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边的差小于第三边. 2.三角形的外角及其外角和 (1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角. (2)外角和:三角形的外角和是360. 3.三角形的内角和定理及推理 (1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180. (2)推论:三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;直角三角形的两锐角互余. 4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 5.三角形具有稳定性.,考点梳理,自主测试,考点三三角形中的重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心. 2.三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心. 3.三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心. 4.三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半.,考点梳理,自主测试,考点四全等三角形的性质与判定 1.概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 3.判定 (1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”. (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”. (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”. (4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”. (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”.,考点梳理,自主测试,考点五定义、命题、定理、公理 1.定义 对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义. 2.命题 判断一件事情的语句叫做命题. (1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果那么”的形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论. (2)命题的真假:判断为真的命题称为真命题;判断为假的命题称为假命题. (3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.,考点梳理,自主测试,3.定理 经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理. 4.公理 有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.,考点梳理,自主测试,考点六证明 1.证明 从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,得出它的结论成立,从而判断该命题为真命题,这个过程叫做证明. 2.证明的一般步骤 (1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密. 3.反证法 先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或定义、定理等相矛盾,从而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法叫做反证法.,考点梳理,自主测试,1.若一个三角形三个内角度数的比为234,则这个三角形是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 答案:B 2.已知三角形的两边分别为5和9,则此三角形的第三边可能是() A.3B.4C.9D.14 答案:C 3.如图,AB=AC,要说明ADCAEB,需添加的条件不能是() A.B=CB.AD=AE C.ADC=AEBD.DC=BE 答案:D,考点梳理,自主测试,4.下面的命题中,判断为真的是() A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等 答案:D,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1三角形的边角关系 【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是() A.0x8B.2x8 C.0x6D.2x6 解析:已知三角形两边a,b的长,确定第三边c的取值范围,c应满足|a-b|ca+b.根据三角形的三边关系,得1x-17,所以2x8. 答案:B,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点2利用“三线”的性质解题 【例2】 如图,BM是ABC的一条中线,AB=5 cm,BC=3 cm. 求:(1)ABM与BCM的周长之差; (2)SABMSCBM. 分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将ABM和BCM的周长分别表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来ABM和BCM的面积再求比值.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,解:(1)AM=MC, ABM与BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC) =AB-BC=5-3=2(cm). (2)如图,过点B作BHAC,交AC的延长线于点H.AM=MC,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,变式训练1已知在ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中线,ADAB=45,且ABD的周长为12 cm,求ABC各边的长及AD的长. 解:AB=AC=5 cm,BC=6 cm,AD=4 cm.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点3全等三角形的性质与判定 【例3】 如图,C是线段AB的中点,CD平分ACE,CE平分BCD, CD=CE. (1)求证:ACDBCE; (2)若D=50,求B的度数. 分析:本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定ACDBCE后,再利用性质可得到E=50,从而求出B.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,(1)证明:C是线段AB的中点,AC=BC. CD平分ACE,CE平分BCD, 1=2,2=3, 1=3. 又CD=CE,ACDBCE(SAS). (2)解:1=2,2=3, 1=2=3.3=60. 由ACDBCE,得D=E. D=50,E=50. 则B=180-E-3=180-50-60=70.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,变式训练2如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DEAB, B=DAE.求证:BC=AE. 证明:DEAB,CAB=ADE.,BACADE(ASA),BC=AE.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点4真假命题的判断 【例4】 下列命题正确的是() A.如果|a|=|b|,那么a=b B.等腰梯形的对角线互相垂直 C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 D.相等的圆周角所对的弧相等 解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-22;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形的对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中. 答案:C,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,
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