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2017年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.为了解600名学生的视力情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为20的样本,则需要分成几个小组进行抽取( )A.20B.30C.40D.503.已知在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.4.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是:,则5288用算筹式可表示为( )A. B.C.D.5.已知,则的值等于( )A.B.C.D.6.已知,且,函数的图象在点处的切线的斜率为3,数列的前项和为,则的值为( )A.B.C.D.7.如图是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是( )A.B.C.D.8.已知等比数列,且,则的值为( )A.2B.4C.8D.169.若实数、,且,则的最小值为( )A.B.C.D.10.椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是( )A.B.C.D.11.四面体中,则四面体外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.已知函数,且,则( )A.B.C.D.第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设变量,满足约束条件:,则目标函数的最小值为 14.已知向量,若向量,的夹角为,则实数 15.在中,内角,所对的边分别是,已知,则 16.在中,为平面内一点,且,为劣弧上一动点,且,则的取值范围为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列是等差数列,首项,且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.按照国家环保部发布的新修订的环境空气质量标准,规定:PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下:组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数(天)第一组32第二组64第三组16第四组115以上8(1)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?(2)在(1)中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随机抽取2天,求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.19.如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,且斜边,侧棱,点为的中点,点在线段上,(为实数).(1)求证:不论取何值时,恒有;(2)当时,求多面体的体积.20.已知点是圆上任意一点,点与点关于原点对称,线段的垂直平分线分别与,交于,两点.(1)求点的轨迹的方程;(2)过点的动直线与点的轨迹交于,两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知函数.(1)若,求函数的最小值;(2)当时,若对,使得成立,求的范围.22.以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程为,(为参数,),曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设直线与曲线相交于,两点,当变化时,求的最小值.23.已知函数.(1)若,使得成立,求的范围;(2)求不等式的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学(文科) 参考答案一、选择题AABCD; AADDC;CA.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.4; 14. 15. 16.三、解答题17.解:(I)设数列的公差为,由,且是与的等比中项得: 或与是与的等比中项矛盾,舍去.,即数列的通项公式为. (II) 18.解:()这120天中抽取30天,应采取分层抽样,第一组抽取天;第二组抽取天;第三组抽取天;第四组抽取天.()设PM2.5的平均浓度在内的4天记为,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为.所以6天任取2天的情况有:共15种 记“恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件,其中符合条件的有:共8种, 所求事件A的概率:19(I)证明:是等腰直角三角形,点为的中点,又又(II) 是等腰直角三角形,且斜边 20.解:(I)由题意得点的轨迹为以为焦点的椭圆点的轨迹的方程为(II)直线的方程可设为,设联立可得由求根公式化简整理得假设在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点,则即 求得因此,在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个点.21.解:(I),令得.当即时,在上,递增,的最小值为.当即时,在上,为减函数,在上,为增函数. 的最小值为.当即时,在上,递减,的最小值为.综上所述,当时的最小值为,当时的最小值为,当时,最小值为.(II)令由题可知“对,使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(I)可知,当时,.当时,当时,由得,与矛盾,舍去. 当时,由得,与矛盾,舍去.当时,由得综上,的取值范围是.22.解:(I)由由,得曲线的直角坐标方程为(II)将直线的参数方程代入,得设两点对应的参数分别为则,当时,的最小值为2.23.解:(I)当 所以 (II)即由(I)可知,当的解集为空集;当时,即,;当时,即,;综上,原不等式的解集为
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