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第四章 图形的认识 4.3等腰三角形与直角三角形,中考数学 (浙江专用),1.(2017湖州,6,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,点P是RtABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于() A.1B.C.D.2,考点一 等腰三角形,A组 2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案A,如图,连接CP并延长交AB于D,连接BP并延长交AC于E,且延长到F,使EF=PE,连接AF, C=90,AC=BC,AB=6, AC=BC=3, P为ABC的重心, CE=AE,AD=DB, CD=AB=3,CDB=90. 在AEF和CEP中, AEFCEP. FAE=ECP=45,CP=AF=3-DP. FAD=90, CDFA, BPDBFA. =. =. PD=1. 故选A.,关键提示三角形的重心是三条中线的交点.,2.(2017杭州,10,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tanACB=y,则() A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15D.4x-y2=21,答案B如图,过A作AMBC于M,过E作ENBC于N,连接ED. E为AC的中点,AMEN,EN=,MN=, AB=AC,AMBC,CM=6,MN=3, tanACB=y, AM=6y,EN=3y, 直线DF是线段BE的垂直平分线, ED=BD=x,DE2=DN2+EN2, x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此题选B.,3.(2016杭州,9,3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则() A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0,答案C根据题意画图,如图.在RtABC中,BCAB,且ABE和AEC均为等腰三角形, AB=BE=m,AE=EC=n-m,AE=AB,n-m=m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.,关键提示本题考查直角三角形与等腰三角形,涉及等式变形,关键是画出草图,挖掘条件.,4.(2017丽水,10,3分)等腰三角形的一个内角为100,则顶角的度数是.,答案100,解析10090, 100的角是顶角, 故答案为100.,5.(2016杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE,则EBC的度数为.,答案45或105,解析根据题意,知点E所在位置有2种可能,如图. 四边形ABCD是菱形,且A=30, ABC=150,BD平分ABC, CBD=75, 又以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角DEB=120, EDB=EBD=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.,解题关键 解题的关键是画出草图,并对点E所处位置进行分类讨论.,评析本题考查菱形和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.,6.(2015绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.当衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案18,解析OA=OB=18 cm,收拢后,AOB=60,连接AB,则AOB是正三角形,故AB=18 cm.,7.(2015嘉兴、舟山,14,4分)已知一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.如图,折叠该纸片,使点A落在BC的中点上,折痕交AC、AB分别于点E、F,则AE的长为.,答案2.5,解析连接AA,设AA与EF交于点O.折叠问题就是轴对称问题,所以EF所在直线是AA的中垂线,又由等腰三角形的性质可知AABC,所以EFBC,又AO=AO,所以EF是ABC的中位线.所以AE=AC=2.5.,解题关键证出EF是ABC的中位线是解题的关键.,8.(2018杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求的值.,解析(1)ACB=90,A=28, B=62, 由题意知BD=BC, BCD=BDC=59, ACD=90-BCD=31. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下: 由勾股定理得AB=, AD=-a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x=-a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC, AE=EC=, 由勾股定理得a2+b2=,整理得=.,思路分析(1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据 ACD为BCD的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解 方程,比较即可;根据勾股定理及等量关系列出等式,化简、整理即可.,方法总结本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟练应用勾股定理是解题的关键.,1.(2016宁波,12,4分)下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张正方形纸片的面积为S3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为() A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3,考点二 直角三角形,答案A设等腰直角三角形纸片的直角边长为a,中间一张正方形纸片的边长为m,则S1=a2, S3=m2,S2=(a-m)(a+m)=(a2-m2),S2=(2S1-S3),即S3=2S1-2S2,所求平行四边形的面积为2S1+ 2S2+S3=2S1+2S2+(2S1-2S2)=4S1.故选A.,解题关键解决本题的关键是引入字母表示出纸片的边长,从而找出S1、S2、S3之间的关系.,2.(2015温州,9,4分)如图,在RtAOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DEOC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知DFE=GFH=120,FG=FE.设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是() A.y=x2B.y=x2C.y=2x2D.y=3x2,答案BON是RtAOB的平分线,DEOC, DCO、ECO、ODE是等腰直角三角形,且OC=DC=CE. OC=x,DE=2x. 易得DF=EF,从而EDF=DEF. DFE=120,EDF=30. CF=x.SDEF=2xx=x2. 在菱形FGMH中,GFH=120,又FG=FE, S菱形FGMH=2SDEF. y=3SDEF=x2.故选B.,解题关键分析出S菱形FGMH=2SDEF,并用含x的式子表示出DE和CF的长是解题的关键.,3.(2015台州,8,4分)如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是() A.8 cmB.5 cm C.5.5 cm D.1 cm,答案A因为矩形的最长折痕是对角线,对角线长= cm8 cm,故选A.,4.(2017丽水,13,3分)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJAB,则正方形EFGH的边长为 .,答案10,解析题图2中有8个全等的直角三角形,每个的面积为(1414-22)8=(196-4)8=1928=24, 则正方形EFGH的面积为244+22=96+4=100, 正方形EFGH的边长为=10. 故答案为10.,方法指导求得正方形EFGH的面积即可求出其边长.,5.(2016温州,15,5分)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板(如图1所示)中各块板的边长之间的关系将其拼成一个凸六边形(如图2所示),则该凸六边形的周长是cm.,答案32+16,解析如图,由题图1可得,AB=BC=8 cm,CD=AH=8 cm,DE=EF=FG=GH=4 cm, 凸六边形的周长=8+8+8+4+4+4+4+8=(32+16)cm.,方法指导分析图形的构成,找等量关系.,6.(2017台州,24,14分)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比如对于方程x2-5x+2=0,操作步骤是: 第一步:根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B; 第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1); 第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标n即为该方程的另一个实数根. (1)在图2 中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹); (2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根; (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标; (4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点? 图1 图2,解析,图,(1)如图所示. (2)如图,过点B作BDx轴,交x轴于点D. 据题意可证AOCCDB, =, =.,图,m(5-m)=2,m2-5m+2=0. m是方程x2-5x+2=0的实数根. (3)方程ax2+bx+c=0(a0)可化为 x2+x+=0. 模仿可得A(0,1),B或A,B等.,说明:当点A在y轴上时,写出形如A(0,t),B(t0)的即可.,图,(4)如图,P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一:设方程的根为x,根据三角形相似可得=, 上式可化为x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 又ax2+bx+c=0,即x2+x+=0,比较系数可得m1+m2=-, m1m2+n1n2=. 解法二:=-, m1+m2=-, 根据三角形相似可得=, 上式可化为m1m2+n1n2=.,7.(2015台州,24,14分)定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3求BN的长; (2)如图2,在ABC中,FG是中位线,点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDEBD,连接AD,AE分别交FG于点M,N,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点; (3)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图3所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可); (4)如图4,已知点M,N是线段AB的勾股分割点,MNAMBN,AMC,MND和NBE均是等边三角形,AE分别交CM,DM,DN于点F,G,H,若H是DN的中点,试探究SAMF,SBEN和S四边形MNHG的数量关系,并说明理由.,解析(1)当MN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN=. 当BN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN=. 综上,BN=或. (2)证明:FG是ABC的中位线,FGBC. =1. 点M,N分别是AD,AE的中点. BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG. 点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDEBD, EC2=BD2+DE2. (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2.,NG2=FM2+MN2. 点M,N是线段FG的勾股分割点. (3)如图. (4)S四边形MNHG=SAMF+SBEN. 理由:设AM=a,BN=b,MN=c, H是DN的中点,DH=HN=c. MND,BNE均为等边三角形, D=DNE=60.,又DHG=NHE,DH=HN, DGHNEH. DG=EN=b.MG=c-b. GMEN,AGMAEN.=.=. c2=2ab-ac+bc. 点M,N是线段AB的勾股分割点,且MNAMBN, c2=a2+b2. a2+b2=2ab-ac+bc,整理得(a-b)(a-b+c)=0, 又a-b+c0,a=b. 在DGH和CAF中,D=C,DG=CA,DGH=CAF, DGHCAF. SDGH=SCAF. c2=a2+b2,c2=a2+b2. SDMN=SACM+SENB.,SDMN=SDGH+S四边形MNHG,SACM=SCAF+SAMF, S四边形MNHG=SAMF+SBEN.,8.(2014温州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程. 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2. 图1 证明:连接DB,过点D作CBD的BC边上的高DF,则DF=EC=b-a. S四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab, 又S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),b2+ab=c2+a(b-a). a2+b2=c2. 请参照上述证法,利用图2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中DAB=90. 求证:a2+b2=c2. 证明:连接. S五边形ACBED=,图2,又S五边形ACBED=, . a2+b2=c2.,证明,连接BD,过点B作BDE的DE边上的高BF,则BF=b-a, S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE =ab+b2+ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE =ab+c2+a(b-a), ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), a2+b2=c2.,评析本题主要考查了勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键.,1.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4B.5C.6D.7,考点一 等腰三角形,B组 2014-2018年全国中考题组,答案D如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点F,则BCM、BCF就是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;,如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,2.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD, 根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得=PE=; 当AP=PD时,P点为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或.,思路分析根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,3.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是.,答案,解析连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE,AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90,AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形,cosAEF=cos 45=.,4.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析ABC为等边三角形, A=B=ACB=60, DEAB, EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形, DE=CD=2.(4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2.(6分),1.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为() A.B.C.D.,考点二 直角三角形,答案A过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.,2.(2014山西,4,3分)下图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是() A.黄金分割B.垂径定理 C.勾股定理D.正弦定理,答案C中国是发现和研究勾股定理最古老的国家.周髀算经记载了古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”.故选C.,3.(2014江苏扬州,8,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,ABBC,ADCD,BAD=60,点M、N分别在AB、AD边上,若AMMB=ANND=12,则tanMCN=() A.B.C.D.-2,答案A连接MN,AC,在RtABC与RtADC中,AB=AD,AC=AC,所以RtABCRtADC,因为BAD=60,所以BAC=DAC=30,在RtABC中,AB=6,BAC=30,所以BC=2,因为 AMBM=12,所以AM=2,BM=4,在RtBCM中,BM=4,BC=2,所以MC=2. 同理可得NC=2,又AMN为等边三角形, 所以MN=2,过M点作MHCN,垂足为H,所以CM2-CH2=MN2-HN2. 设CH=x,则(2)2-x2=22-(2-x)2, 解得x=, 在RtHCM中,CM=2,CH=, 所以MH=,所以tanMCN=.故选A.,解题关键解决本题的关键是构造包含MCN的直角三角形.,4.(2017安徽,14,5分)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为cm.,答案40或(只写出一个正确答案得3分),解析由已知可知ADBEDB,又A=90,C=30,所以ABD=EBD=C=30,则CD=BD,设AD=DE=x cm,则CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30=,解得x=10,所 以BD=20 cm,AB=10 cm.经分析可知满足题意的剪法有以下两种:取BD的中点F,连接EF, AF,沿EF剪开所得四边形ADEF是平行四边形,也是菱形,其边长DE为10 cm,故其周长为40 cm;作EDB的平分线DM,沿DM剪开所得四边形是平行四边形,也是菱形,其边长DM= = cm,故其周长为4= cm.综上,所求周长为40 cm或 cm.,思路分析由轴对称的性质得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考虑到在三角形BDE中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四边形,且都为菱形,求出边长即可求得周长.,5.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,点D,E都在边BC上, DAE=60.若BD=2CE,则DE的长为.,答案3-3,解析如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EHDF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x, 则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,一题多解将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=BD.可证ADEAFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 过点A作AMBC,交BC于点M, 则BC=2CM=2ACcos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,1.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有() A.2个B.3个C.4个D.5个,考点一 等腰三角形,C组 教师专用题组,答案D依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5个等腰三角形.故选D.,2.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为() A.35B.40C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故选A.,3.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为() A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,4.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小为() A.30B.40 C.50D.70,答案BAB=AC,B=C.ADBC,1=C=70.B=70.BAC=40.故选B.,5.(2014江苏苏州,6,3分)如图,在ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,B=80,则C的度数为 () A.30B.40C.45D.60,答案B因为AB=AD,所以B=ADB=80,因为DC=AD,所以C=CAD,又因为ADB是ACD的外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故选B.,6.(2018贵州贵阳,24,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,P是BC边上的一点,且BP=2CP. (1)用尺规在图中作出CD边上的中点E,连接AE,BE(保留作图痕迹,不写作法); (2)如图,在(1)的条件下,判断EB是否平分AEC,并说明理由; (3)如图,在(2)的条件下,连接EP并延长交AB的延长线于点F,连接AP.不添加辅助线,PFB能否由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向、旋转角或平移方向和平移距离);如果不能,也请说明理由.,解析(1)如图所示,点E为所作的点,EA,EB为所连的线段. (2)EB平分AEC,理由如下: 如题图,由(1)及已知可知DE=1. 四边形ABCD是矩形,AD=, 在RtADE中,tanDEA=,AE=2, DEA=60, EAB=60,AEC=180-60=120. 由作图可知EA=EB,EAB是等边三角形, AEB=60, CEB=120-60=60, AEB=CEB,EB平分AEC. (3)PFB能由都经过P点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形,理由如下: 如题图,BP=2CP,AD=BC=,BP=. 由题意可知,C=PBF=90,EPC=FPB, ECPFBP, =,FB=2EC=DC=2, B是AF的中点, PB是线段AF的垂直平分线, PBFPBA. 在RtPFB中,tan F=, F=30, AEP=180-F-EAF=90. AE=AB,AP=AP,AEP=ABP=90,RtPEARtPBA, PBFPBAPEA, 可将PFB作如下变换后与PAE组成一个等腰三角形. PFB关于PF对称,再以点P为旋转中心,逆时针旋转120; PFB以点P为旋转中心,顺时针旋转120,再关于PE对称.,7.(2018辽宁沈阳,24,12分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AGBC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE. (1)如图,当ACB=90时: 求证:BCMACN; 求BDE的度数; (2)当ACB=,其他条件不变时,BDE的度数是;(用含的代数式表示) (3)若ABC是等边三角形,AB=3,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请 直接写出线段CF的长.,备用图1 备用图2,解析(1)证明:CA=CB,BN=AM, CB-BN=CA-AM, 即CN=CM, BC=AC,MCB=ACN,CM=CN, BCMACN. BCMACN, MBC=NAC, EA=ED, EAD=EDA, AGBC, GAC=ACB=90,ADB=DBC, ADB=NAC, ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90, BDE=90.,(2)或180-. (3)4或. 详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=. 图1 图2,(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如图3,当CN=MC=BC=2时,由AD BC可得ADMCBM,=,=,AD= .由EA=ED得AN=DF, 又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知 BDE=120BDF=60,从而可得BCMBDF,=,=,BF= , CF=BF-BC=.,图3 图4 如图4,当CN=BC=时,与同法可求得CF=4.,思路分析(1)由“边角边”可证三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等边对等角可得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由两直线平行,内错角相等,可得 ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90, BDE=90. (2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解. (3)N为BC的三等分点,分类讨论BN=BC和BN=BC两种情况.,易错警示本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点,都需要分类讨论.,8.(2014温州,20,10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F. (1)求F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.,解析(1)ABC是等边三角形, B=60. DEAB, EDC=B=60. EFDE, DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC是等边三角形. ED=DC=2. DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,9.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,10.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t. (1)判断MN与AC的位置关系; (2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点, MNAC.(3分) (2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG. 根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 线段MN扫过区域的面积为12.(7分) (3)解法一:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分) ii)当MD=DN时,AD=DC,过D作DHAC交AC于H, 则AH=AC=3, cos A=, AD=t=5.(11分) iii)当DN=MN=3时,AC=DC.连接MC,则CMAD.,cos A=,即=, AM=,AD=t=2AM=. 综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分) 解法二:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6, t=6.(9分) ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90, B=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB=10, t=AD=AB=5.(11分) iii)当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAB.,SACB=BCAC=ABMC,CM=. 在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=. 综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分),11.(2014黑龙江哈尔滨,28,10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD. (1)求证:ABC为等腰三角形; (2)M是线段BD上一点,BMAB=34,点F在BA的延长线上,连接FM,BFM的平分线FN交BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连接MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH之间的数量关系,并证明你的结论.,解析(1)证明:如图1,作BAP=DAE,AP交BD于P, 图1 设CBD=,CAD=, ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD, APE=ADB,AP=AD,(1分) ACBD,PAE=DAE=,(2分) PAD=2,BAD=3, BAD=3CBD, 3=3,=,(3分),ACBD,ACB=90-=90-, ABC=180-BAC-ACB=90-, ACB=ABC,(4分) AB=AC, ABC为等腰三角形.(5分) (2)2MH=FM+CD.(6分) 证明:如图2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=, ABPACD,ABE=ACD,(7分) ACBD,GDN=90-, GN=GD, GND=GDN=90-,AGF=NGD=2, AFG=BAD-AGF=3-2=, FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分) H为BF中点,BF=2MH,在FB上截取FR=FM,连接RM, 图2 FRM=FMR=90-, ABC=90-, FRM=ABC,RMBC, CBD=RMB, CAD=CBD=, RMB=CAD.(9分) 又RBM=ACD,RMBDAC,=,FB-FM=BR=CD. 2MH=FM+CD.(10分),评析本题是一道综合题,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的判定等知识,所探究的线段之间的数量关系较复杂,综合性较强,属难题.,1.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=.,考点二 直角三角形,答案-1,解析由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,2.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上 的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角 形,则BM的长为.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC, B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1, BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM=BC=.,综上所述,BM的长为1或.,3.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=30.将ABC绕点A旋转,使点B落在原ABC的点C处,此时点C落在点D处.延长线段AD,交原ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于.,答案4-4,解析如图,作BFAE交AE于点F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以 DF=AD-AF=8-4=4. 易证BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.,评析本题考查解含特殊角的直角三角形,画出图形,通过作出适当的辅助线,把一般的三角形化为直角三角形是关键,属于中等难度题.,5.(2014贵州贵阳,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿AD方向以 cm/s的速度向点D运动.设ABP的面积为S1,矩形PDFE的面 积为S2,运动时间为t秒(0t8),则t=时,S1=2S2.,答案6,解析由题意可知RtADC和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8 cm.因为AP= t cm,所以DP=EF=FC=(8-t)cm,DF=t cm;S1=APBD=t8=8t cm2, S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以当S1=2S2时,有8t=-4t2+32t,解得t=6.,6.(2018四川成都,27,10分)在RtABC中,ACB=90,AB=,AC=2,过点B作直线mAC,将 ABC绕点C顺时针旋转得到ABC(点A,B的对应点分别为A,B),射线CA,CB分别交直线m于点P,Q. (1)如图1,当P与A重合时,求ACA的度数; (2)如图2,设AB与BC的交点为M,当M为AB的中点时,求线段PQ的长; (3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA,CB的延长线上时,试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PABQ的最小面积;若不存在,请说明理由.,解析(1)由旋转的性质得AC=AC=2, ACB=90,AB=,AC=2,BC=, ACB=90,mAC,ABC=90, cosACB=, ACB=30, ACA=60. (2)M为AB的中点,ACB=90,MA=MB=MC, ACM=MAC, 由旋转的性质得MAC=A,A=ACM, tanPCB=tanA=,PB=BC=, tanBQC=tanPCB=,BQ=BC=2, PQ=PB+BQ=. (3)S四边形PABQ=SPCQ-SACB=SPCQ-,S四边形PABQ最小即SPCQ最小, SPCQ=PQBC=PQ. 取PQ的中点G,连接CG. PCQ=90, CG=PQ. 当CG最小时,PQ最小,CGPQ,即CG与CB重合时,CG最小, CGmin=,PQmin=2,(SPCQ)min=3,(S四边形PABQ)min=3-.,思路分析(1)在RtABC中,由勾股定理得BC=,根据旋转知AC=AC=2,解直角ABC,得 ACB=30,所以ACA=60;(2)根据M为AB的中点,可得ACM=MAC=A,且A=BQC,解RtPBC,RtBQC,求出PB=,BQ=2,进而得出PQ=PB+BQ=;(3)依据S四边形PABQ=SPCQ-SAC B= SPCQ-,得当SPCQ最小时,S四边形PABQ最小,又SPCQ=PQBC=PQ,求出PQ最小值即可得到 SPCQ的最小值为3,则四边形PABQ的最小面积是3-.,解后反思本题是以直角三角形旋转为背景的几何综合题,主要考查了旋转的性质,平行线的性质,解直角三角形,直角三角形的性质等,根据直线mAC以及旋转变换中相等的线段和相等的角,求PQC中角的大小和边长是解题的关键.,7.(2015丽水,19,6分)如图,已知ABC中,C为直角,ACBC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等. (1)用直尺和圆规作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接AD,若B=37,求CAD的度数.,解析(1)作图如下: (2)ABC中,C为直角,B=37, BAC=53. AD=BD,B=BAD=37, CAD=BAC-BAD=16.,思路分析(1)由点D到A,B两点的距离相等知,点D在线段AB的垂直平分线上,结合点D在BC上知,点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点. (2)根据直角三角形两锐角互余,求出BAC,根据等腰三角形“等边对等角”的性质,求出 BAD,从而作差求得CAD的度数.,8.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析(1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM=AC. N为CD的中点, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=.,9.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由. 图1 图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD=2.(4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD. FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等边三角形.(9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60. CEF是等边三角形.(12分),10.(2014上海,22,10分)如图,已知在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,过点A作AECD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH. (1)求sin B的值; (2)如果CD=,求BE的长.,解析(1)在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,AB=2CD=2BD,DCB=B. AHCD,AHC=CAH+ACH=90. 又DCB+ACH=90,CAH=DCB=B. ABCCAH.=.又AH=2CH,BC=2AC.可设AC=k,BC=2k, 在RtABC中,AB=k. sin B=. (2)AB=2CD,CD=,AB=2. 在RtABC中,AC=ABsin B=2=2. BC=2AC=4. 在RtACE和RtAHC中,tanCAE=. CE=AC=1. BE=BC-CE=3.,11.(2014湖南郴州,25,10分)如图,在RtABC中,BAC=90,B=60,BC=16 cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1 cm,点M从点B出发沿BC方向以1 cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动.以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s). (1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上? (2)设正方形MNGH与RtABC重叠部分的图形的面积为S.当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围; (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,CPD是等腰三角形?,解析(1)在RtABC中,BAC=90,ABC=60,BC=16 cm, 所以AB=BCcos 60=16=8(cm),(1分) 在RtABD中,ADB=90,ABC=60,AB=8 cm, 所以BD=ABcos 60=8=4(cm),(2分) 所以DE=BD-BE=4-1=3(cm),t=3. 所以当t=3时,点G刚好落在线段AD上.(3分) (2)当t4时,S=1 cm2.(4分) 如图,当点G落在线段AC上时,因为GNAD, 所以=, 即=, 解得DN=(6-6)cm, 即t-3=6-6, 所以t=6-3. 所以当4t6-3时,S=(t-3)2.(6分) (3)若CP=CD=12 cm, 因为PNAD,所以=,即=, 解得DN=(12-6)cm, 即t-3=12-6,所以t=15-6. 所以当t=15-6时,CPD是等腰三角形;(7分) 若PD=PC,此时PN是线段DC的垂直平分线, 所以t-3=6,即t=9,所以当t=9时,CPD是等腰三角形;(8分) 若PD=CD,则点P与点C重合,不能构成三角形.(9分) 综上所述,当t=15-6或t=9时,CPD是等腰三角形.(10分),评析本题是以正方形在直角三角形中运动为背景的动点问题,考查了直角三角形、正方形的性质,图形的相似,等腰三角形的判定等知识,关键是确定点M、N的运动范围.分类讨论思想也在本题中得到了充分应用.,1.(2018台州一模)下列命题正确的有() 若等腰三角形的两边长分别为5和3,则这个等腰三角形的周长为6+5; 人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m,该数据用科学记数法表示为7.710-7m; 若点P的坐标为(1-2m,m-1)(m为任意实数),则P点一定不在第一象限; 若函数的图象关于y轴对称,则该函数为偶函数.下列三个函数:y=1,y=2x-1,y=x2中,偶函数的个数为2. A.1个B.2个C.3个D.4个,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,考点一 等腰三角形,答案B等腰三角形的两边长分别为5和3,该三角形有两种情况:(i)当3为等腰三 角形的腰长时,3+3=65,三角形周长为6+5;(ii)当等腰三角形的腰长为5 时,5+5=103,三角形周长为10+3.将一个大于0且小于1的数用科学 记数法表示,其形式为a10-n,其中1a0时,m,此时m-1 -0,故点P不可
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