资源描述
第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (福建专用),1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于() A.15B.30C.45D.60,A组 2014-2018年福建中考题组,五年中考,答案A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角, 得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,答案C过A作AEBC于点E,AB=AC, EC=BE=BC=4,AE=3, D是线段BC上的动点(不含端点B、C), 3AD5,AD=3或4, 线段AD长为正整数,点D的个数共有3个.,3.(2014福州,9,4分)如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则BFC为() A.45B.55C.60D.75,答案C由已知得AB=AE,BAE=150,ABF=15,BFC=ABF+BAF=15+45=60.,评析本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.,4.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD=.,答案3,解析依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.,5.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=.,答案-1,解析由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,6.(2016莆田,16,4分)魏朝时期,刘徽利用下图通过“以盈补虚,出入相补”的方法,即“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类”证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2,则AE的长为.,答案3,解析由已知得四边形ABCD是正方形,BF=1,CF=2, AD=AB=DC=BC=BF+CF=3.在RtABF中,AF=,BCAD, EFCEAD,=,即=,解得AE=3AF=3.,B组20142018年全国中考题组 考点一等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是() A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为() A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,3.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是() A.5B.6C.7D.8,答案A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,4.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有() A.2个B.3个C.4个D.5个,答案D依题意可知,题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5个等腰三角形.故选D.,5.(2018吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为.,答案(-1,0),解析A(4,0),B(0,3),AB=5,AC=AB,OC=AC-AO=AB-AO=5-4=1,C(-1,0).,6.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=. 在RtDEG中,DG=.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,7.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD 上一点,连接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH=.,答案,解析延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA=120,HEC=60, CHAD,CHE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH=x, 过点B作BGHE于G,则BG=x,EG=,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDG CDH,=, BC=,CD= ,又DH=GH=HE=,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即+(x)2 =,解得x=1, DH=.,疑难突破此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从而实现线段的转化.,8.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则BCE的周长为.,答案13,解析DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,9.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为.,答案63或27,解析在三角形ABC中,设AB=AC,BDAC于D. 若三角形是锐角三角形,则A=90-36=54, 此时,底角=(180-54)2=63; 若三角形是钝角三角形,则BAC=36+90=126, 此时,底角=(180-126)2=27. 综上,该等腰三角形底角的度数是63或27.,评析本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理,属容易题.,10.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,11.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析ABC为等边三角形,A=B=ACB=60, DEAB,EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形,DE=CD=2.(4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2.(6分),12.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由. 图1,图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30, AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD=2.(4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF, FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD. FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等边三角形.(9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点, CG=AG. 又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60. CEF是等边三角形.(12分),答案A由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3, AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC=3.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4, OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为.,答案1或9,解析分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4, BC=1. 综上,BC的长为1或9.,思路分析根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,4.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为.,答案4或4,解析(1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时, DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以AEC=ACE=ACE, AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4. 图1 图2,图3,思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.,5.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为.,答案2或2或2,解析由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2. 在RtABP中,AP=2. 综上所述,AP的长为2或2或2.,评析本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角形的边角关系,勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.,5.(2014湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则BD的长为.,答案,解析作ADAD,且使AD=AD,连接CD,DD,如图. 由已知条件可得BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD. 在BAD与CAD中, BADCAD(SAS), BD=CD.又DAD=90,在RtDAD中,由勾股定理得DD= =4,易知 DDA+ADC=90,在RtCDD中,由勾股定理得CD=,BD= CD=.,评析本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,属难题.,6.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量关系.,7.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90,ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE与BCD中,(3分) ACEBCD.(4分) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2, 2CD2=AD2+DB2.(7分),C组教师专用题组 考点一等腰三角形,1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为() A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( ) A.4B.5C.6D.7,答案D如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,3.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为() A.35B.40 C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70, AD=DC,C=DAC. ADB是ADC的外角, C=ADB=35,故选A.,4.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 () A.35B.45 C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC中点, CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,5.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.,答案80,解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80.,6.(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知:直线l和l外一点P. 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图, (1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的垂线.,请回答:该作图的依据是.,答案三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合;两点确定一条直线,解析连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的对应角相等). 由两点确定一条直线作直线PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,7.(2015北京,16,3分)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 尺规作图:作一条线段的垂直平分线. 已知:线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线. 小芸的作法如下:,如图, (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点; (2)作直线CD. 所以直线CD就是所求作的垂直平分线. 老师说:“小芸的作法正确.” 请回答:小芸的作图依据是.,答案到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,两点确定一条直线,解析由小芸的作法可知,AC=BC,AD=BD,所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C、D在线段AB的垂直平分线上,再由“两点确定一条直线”可知直线CD就是所求作的垂直平分线.,8.(2014山西,16,3分)如图,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线,ACE= BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为.,答案-1,ACE=BAC,ACE=CAD, AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB=75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF, AFECFG(ASA), EF=FG. AB=AC,AD为BC边上的中线, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,9.(2015广东广州,15,3分)如图,ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=9,BC=12,则cos C=.,答案,解析因为DE是BC的垂直平分线,所以CE=BE=9,CD=BD=6,在RtCDE中,cos C=.,10.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,11.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形. OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90. PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ, PCEEDQ.(5分) (2)证明:如图,连接OR.,PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线, AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形.(9分),12.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,13.(2014浙江宁波,25,12分)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法. 我们有多种剪法,图1是其中的一种方法: 定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这叫做这个三角形 的三分线. (1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种) (2)ABC中,B=30,AD和DE是ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=,CE.设C=x,试画出示意图,并求出x所有可能的值; (3)如图3,ABC中,AC=2,BC=3,C=2B,请画出ABC的三分线,并求出三分线的长.,解析(1)画图如下(任画其中两个即可). (2)如图,当AD=AE时,2x+x=30+30,x=20. 当AD=DE时,30+30+2x+x=180,x=40. 当AE=DE时,不存在.(不写不扣分) C的度数是20或40.(结论不写不扣分) (3)如图,CD,AE就是所求的三分线, 设B=,那么DCB=DCA=EAC=,ADE=AED=2,设AE=AD=a,BD=CD=y, AECBDC,ay=23.,又ACDABC,2a=(a+y)2, 解得a=,y=, 即三分线长分别是和.,评析本题考查了学生的理解能力及动手、创新能力,知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,是一道综合性比较强的题目.,考点二直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为() A.2B.3C. D.,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是 ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又 AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D.,思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD=,AB=20, BC=10,AD=13,则线段CD=.,答案或17,解析如图1,作AE直线BD于点E,CF直线BD于点F, 图1 ABD+DBC=90, BCF+DBC=90, ABD=BCF, tanABD=,tanBCF=. 在RtAEB中,设AE=3x,BE=4x,则(3x)2+(4x)2=202, 解得x=4, AE=12,BE=16, 在RtBCF中,设BF=3y,CF=4y,则(3y)2+(4y)2=102, 解得y=2, BF=6,CF=8, 在RtADE中,DE=5, BD=BE-DE=11,FD=BD-BF=5, 在RtDCF中,CD=. 如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.BD=BE+ED=21,FD=BD-BF=15, 图2 在RtDCF中,CD=17. 综上所述,线段CD的长为或17.,解题关键考虑问题要全面,正确画出图形,通过作垂线,构造直角三角形,然后利用勾股定理求出线段BD、FD的长度是关键.,3.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为() A.B. C.D.,答案A过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2. 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=, CE=CF=.选A.,4.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为() A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2 ke2m.故选D.,5.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为cm.,答案(+),解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm, DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2 +-=(+)cm.,一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2 cm,ABD=30,BD=AD=4 cm,CBD=45,BC=2 cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,6.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=, BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=AO-AC=.O.,7.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为.,答案或,解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=;当CP=2时,根据勾股定理得AP= =,故AP的长为或.,8.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=30.将ABC绕点A旋转,使点B落在原ABC的点C处,此时点C落在点D处.延长线段AD,交原ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于.,答案4-4,解析如图,作BFAE交AE于点F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以 DF=AD-AF=8-4=4. 易证BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.,评析本题考查解含特殊角的直角三角形,画出图形,通过作出适当的辅助线,把一般的三角形化为直角三角形是关键,属于中等难度题.,9.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a,RtADC中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),评析本题考查直角三角形的基本性质与运算.,解析(1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点,BM=AC. N为CD的中点, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2,BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=.,又S五边形ACBED=, . a2+b2=c2.,证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a, S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE =ab+b2+ab, 又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE =ab+c2+a(b-a), ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), a2+b2=c2.,评析本题主要考查勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键.,三年模拟,答案B由作图可知MN是AC的垂直平分线, DA=DC,AE=EC,故A正确, ADE=CDE=DCB,故C正确, DA=DC,A=DCA,故D正确.故选B.,答案B根据勾股定理的逆定理知,ABC是直角三角形,A正确;F是BC的中点,所以AF是ABC的中线,而不是中位线,B错误;点E,F分别是AB,BC的中点,所以EF是ABC的中位线,C正确;AB=5,BC=3,AC=4,点E,F分别是AB,BC的中点,BE=AB=2.5,BF=BC=1.5,EF=AC=2, BEF的周长为6,D正确.,二、填空题(每小题3分,共9分) 3.(2018莆田质检,14)如图,ABC中,AB=3,AC=4,点F在AC上,AE平分BAC,AEBF于 点E.若点D为BC的中点,则DE的长为.,答案,解析由AE平分BAC,AEBF可证得ABEAFE, BE=EF,AF=AB=3.AC=4,CF=.点D为BC的中点,DE为BCF的中位线, DE=CF=.,4.(2017厦门质检,14)如图,在RtACB中,C=90,BC=4,DEF是等腰直角三角形,DEF=90,A,E分别是DE,AC的中点,点F在AB边上,则AB=.,答案2,解析DEF是等腰直角三角形,DEF=90,C=90, EFBC,又BC=4,E为AC中点, EF=BC=2,AB=2AF,DE=EF=2,A为DE中点,AE=1,由勾股定理得AF=, 故AB=2AF=2.,5.(2016龙岩质检,15)如图,ABC是等边三角形,BD平分ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,E=30,则BC=.,答案2,解析ABC是等边三角形,ABC=ACB=60,BA=BC,BD平分ABC,DBC=E=30,BDAC,BDC=90,BC=2DC, ACB=E+CDE,CDE=E=30,CD=CE=1, BC=2CD=2.,三、解答题(共40分),6.(2018漳州质检,18)如图,在ABC中,A=80,B=40. (1)求作线段BC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D; (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,连接CD,求证:AC=CD.,解析(1)如图,直线DE即为所求. (2)证法一:DE垂直平分BC,BD=CD, 1=B=40.2=B+1=80. A=80,2=A.AC=CD. 证法二:DE垂直平分BC,BD=CD,1=B=40. A=80,ACB=180-A-B=60. ACD=60-40=20.2=180-A-ACD=80=A.AC=CD.,7.(2018泉州质检,19)如图,在锐角ABC中,AB=2 cm,AC=3 cm. (1)尺规作图:作BC边的垂直平分线分别交AC,BC于点D、E(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,连接BD,求ABD的周长.,8.(2017福州质检,18)求证:等腰三角形的底边中点到两腰距离相等.,9.(2017泉州质检,19)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=3,DC=4,A=60,D=150,试求BC的长度.,解析如图,连接DB,AB=AD,A=60,ABD是等边三角形, BD=AD=3,ADB=60, 又ADC=150, CDB=ADC-ADB=150-60=90, DC=4,BC=5.,10.(2017福州质检,20)如图,在RtABC中,C=90,BC=1,AC=2.以点B为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AC于点E,保留作图痕迹,并求的值.,解析如图所示. 在RtABC中,BC=1,AC=2, AB=. 由作图知BD=BC,AE=AD. BC=1,AE=AD=-1.=.,答案C如图,将CE绕点C沿顺时针方向旋转90,点E旋转到点E的位置,连接AE,DE, 则CE=CE,ECE=90. ACB=90,AC=BC,CAB=B=45,ECE=ACB, ECE-ACE=ACB-ACE, 即ECA=ECB, ECAECB, EAC=B=45,AE=BE=4, EAD=EAC+CAB=90, DE=5.,DCE=45, ECD=ECE-DCE=90-45=45, ECD=DCE. 又EC=EC,DC=DC, ECDECD, ED=ED=5, AB=AD+ED+BE=3+5+4=12. AC2+BC2=AB2, 2BC2=AB2, BC=6. 故选C.,2.(2017宁德质检,10)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC和AC上,若AD=AE,则下列结论错误的是() A.ADB=ACB+CAD B.ADE=AED C.CDE=BAD D.AED=2ECD,答案D由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,可知A正确;由AD=AE可得ADE=AED,可知B正确;设B=C=,CDE=,则AED=+,CAD=180-2(+),又BAC=180-2,BAD=BAC-CAD=2=2CDE,即CDE=BAD,C正确; AED的度数随AE长度的变化而变化,与不一定相等,从而AED不一定等于2ECD,D错误.,3.(2016福州质检,12)如图,RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,AD平分BAC,则点B到AD的距离是() A.3 B.4 C.2D.,答案C过点D作DEAB于E,设CD=x,AD平分BAC,C=90,DE=CD=x,AC=6,BC=8,AB=10,AE=AC=6,BD=8-x,BE=4,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,可列方程x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE=3,DC=3,AD=3.设点B到AD的距离为h,则SABD=ABDE=AD h,103=3h,h=2.,二、填空题(共3分),4.(2017福州质检,16)如图,四边形ABCD中,ABC=ADC=90,BD平分ABC,DCB=60,AB+BC=8,则AC的长是.,答案,解析设点O是AC中点,以O为圆心,OA为半径作圆, ABC=ADC=90,点D与点B在圆O上,BD平分ABC,AD=CD,DCA=45.又DCB=60,ACB=DCB-DCA=15. 连接OB,过点B作BEAC于E, AOB=2ACB=30, OB=2BE,AC=2OB=4BE, 设AB=x,则BC=8-x.ABBC=BEAC,x(8-x)=4BE2,AC2=16BE2=4x(8-x). 由勾股定理得AC2=x2+(8-x)2, 4x(8-x)=x2+(8-x)2,解得x=4,AC=.,三、解答题(共28分) 5.(2018宁德质检,24)如图1,在ABC中,BAC=90,AB=AC=4,D是BC上一个动点,连接AD,以AD为边向右侧作等腰直角ADE,其中ADE=90. (1)如图2,G,H分别是边AB,BC的中点,连接DG,AH,EH,求证:AGDAHE; (2)如图3,连接BE,直接写出当BD为何值时,ABE是等腰三角形; (3)在点D从点B向点C运动过程中,求ABE周长的最小值.,解析(1)证明:由题意知ABC和ADE都是等腰直角三角形,B=DAE=45. H为BC中点,AHBC. BAH=45=DAE. GAD=HAE. 在等腰直角BAH和等腰直角DAE中, AH=AB=AG,AE=AD. =.AGDAHE. (2)当BD=0或或2时,ABE是等腰三角形. (3)当点D与点B重合时,点E的位置记为点M. 此时,ABM=BAC=90,AMB=BAM=45,BM=AB=AC. 四边形ABMC是正方形. BMC=90,AMC=45, BAM=DAE=45, BAD=MAE,在等腰直角BAM和等腰直角DAE中, AM=AB,AE=AD. =. ABDAME. AME=ABD=45, 点E在射线MC上.,作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E,连接BE,EN,BE+AE=NE+AEAN=NE+AE=BE+AE, ABE的周长就是所求的周长的最小值. 在RtABN中, AB=4,BN=2BM=2AB=8, AN=4. ABE周长的最小值为AB+AN=4+4.,6.(2016福州质检,26)如图所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M在BC边上,连接AM,作AMN=AMB,点N在直线AD上,MN交CD边于点E. (1)求证:AMN是等腰三角形; (2)求BMAN的最大值; (3)当M为BC的中点时,试求ME的长.,解析(1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,NAM=AMB. 又AMN=AMB,AMN=NAM. AN=MN,即AMN是等腰三角形. (2)如图,过N作NHAM,垂足为H. AN=MN,NHAM,AH=AM. NHA=ABM=90,MAN=AMB, NAHAMB, =,
展开阅读全文