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学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,学点七,1.一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 ，即AB= 。 2.一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 ，即AB= . 3.（1）一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 ，通常记作 . （2）对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称 为集合A相对于全集U的 ，记作 ， 即 .,并集,AB,x|xA或xB,交集,AB,x|xA,且xB,全集U,补 集,U,4.（1）1.并集ABx|xA或xB对于任意的集合A， B，有AA= ，AA= ，AB= , AB= . 若AB=B,则A B；若AB=B,则B A. （2）由补集的定义可知，对任意集合A，有A(CUA)= , A(CUA)= .,5.用集合语言描述下面几个图： （1）A B,AB= ,AB= ； （2）A B,AB= ,AB= ； （3）A =B，AB= ,AB= .,B,A,A,B,A(B),A(B),A,A,BA,BA,U,学点一 基本概念的考查,已知U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5.求: （1）AB; （2）A(CUB); （3）(CUA)(CUB); （4）(CUA)(CUB),【分析】由集合的交、并、补概念直接求解.,【解析】 U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5, CUA=5,6,7,8, CUB=1,6,7,8. （1）AB=1,2,3,42,3,4,5=2,3,4. （2）A(CUB)=1，2，3，41,6,7,8=1,2,3,4,6,7,8. （3）(CUA)(CUB)=5，6，7，81,6,7,8= 6,7,8. （4）(CUA)(CUB)=5，6，7，81,6,7,8=1,5,6,7,8 .,【评析】集合的简单运算可由基本概念直接求解.,已知集合S=x|1x7,A=x|2x5,B=x|3x7.求： (1)(CSA)(CSB); （2）CS（AB）; (3)(CSA)(CSB); （4）CS（AB）.,解：AB=x|3x5, AB=x|2x7, CSA=x|1x 2x|5x7, CSB=x|1x37. （1）（CSA）(CSB)=x|1x2或x=7. （2）CS（AB）=x|1x2或x=7. （3）（CSA）(CSB)=x|1x3或5x7. （4）CS（AB）=x|1x3或5x7.,【解析】M=x|y2=x+1=x|x+10 =x|x-1， P=x|y2=-2(x-3)=x|x3， MP=x|x-1，且x3=x|-1x3.故应选C.,学点二 交 集,【分析】由集合的定义,集合M表示方程y2=x+1中x的范围, 集合P表示方程y2=-2(x-3)中x的范围,故应先化简集合M,P.,【评析】理解集合的表示形式,掌握其意义,利用交 集定义可解决所给问题.,已知集合M=x|y2=x+1,P=x|y2=-2(x-3),那么MP=( ) A. (x,y)x= ,y= B.x|-1x3 C.x|-1x3 D.x|x3 ,C,设集合A=(x,y)|2x+y=1,x,yR,B=(x,y)|a2x+2y=a,x,yR, 若AB=,求a的值.,解：集合A,B的元素分别是二元一次方程2x+y=1和a2x+2y=a的解,因为两方程的公共解集AB=,所以方程组无解. 列方程组 得(4-a2)x=2-a 则 即a=-2.,学点三 并 集,设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,下列集合中与AB相等的集合是( ) A.4,5,6,7,8 B.3,4,6,7,10，16 C.3,4,5,6,7,8,9 D.3,4,5,6,7,8,【分析】注意到集合A与集合B的并集的定义中: (1)集合AB中的元素必须是集合A或集合B的元素, (2)集合AB包含集合A与集合B中的所有元素.,D,【评析】在判定或书写集合A与集合B的并集时,既不能遗 漏元素, 也不能增添元素,要严格地理解、掌握并集的定义.,【解析】A.3B,但34,5,6,7,8,4,5,6,7,8AB; B.10A,10B,16A,16B,3,4,6,7,10,16AB; C.9A,9B,AB3,4,5,6,7,8,9; D.显然AB=3,4,5,6,7,8. 故应选D.,已知A=x|x-1或x3,B=x|ax4,若AB=R,则实数a的取值范围是( ) A.3a4 B.-1a4 C.a-1 D.a-1,解：A=x|x-1或x3,B=x|ax4,AB=R, 由数轴知,a-1. 故应选C.,C,学点四 补集与全集,设A=0,2,4,6,CUA=-1,-3,1,3,CUB=-1,0，2,求B.,【分析】由A(CUA)=U确定全集U,则B可求.,【解析】A=0,2,4,6,CUA=-1,-3,1,3, U=-3,-1,0,1,2,3,4,6, 又CUB=-1,0,2,B=-3,1,3,4,6.,【评析】解决与补集有关的问题时,应明确全集是什么, 同时注意补集的有关性质:CU=U,CUU=,CU(CUA)=A等.,设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|2a-1|,2,且CUA=5,求实数a的值.,解：CUA=5,5U，且5A. a2+2a-3=5,即a=2或a= -4. 当a=2时,|2a-1|=3,这时A=3,2,U=2,3,5. CUA=5,适合题意.a=2. 当a=-4时,|2a-1|=9,这时A=9,2,U=2,3,5,AU, CUA无意义,故a=-4应舍去. 综上所述可知a=2.,学点五 交集的应用,已知集合A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1, 若AB=A,求实数m的取值范围.,【分析】由AB=A得AB，故应从BA入手讨论， 但考虑到B是A的子集，因此，不要忘记B=的情况.,【解析】由题意，AB=A,BA. （1）若B=，则m+12m-1，即m2， 此时总有AB=A=A成立. （2）若B，则 解得2m3. 综合(1)(2)知,m的取值范围是m|m2m|2m3=m|m3.,【评析】由AB=A可得BA,而BA包括两种情况， 即B=和B.本题常犯的错误是把 B=漏掉而只讨论B这一种情况.,设集合A=a2, a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,AB=-3,求实数a的值.,解：AB=-3,-3B. a-3= -3或2a-1= -3, a=0或a= -1. 当a=0时,A=0,1,-3,B=-3,-1,1,此时AB=1,-3,与AB=-3矛盾,故舍去. 当a= -1时,A=1,0,-3,B=-4,-3,2,满足AB=-3, a= -1.,学点六 Venn图的应用,【分析】关于集合的交、并、补的问题,通常可以由分析法 找出集合中一定有或一定没有的元素,对它们逐一检验; 或利用Venn图,把元素一一放入图中相应位置,从而写出所 求集合.,【解析】解法一：利用Venn图,在图中 标出各个元素的相应位置,可以直接写 出A与B,A=2,3,5,7,B=1,2,9.,若集合U=x|x是小于10的正整数,AU,BU,且(CUA)B=1,9, AB=2,(CUA)(CUB)=4,6,8,试求A与B.,解法二：AB=2,(CUA)B=1,9, B=（AB）(CUA)B=1,2,9. AB=CU(CUA)(CUB)=1,2,3,5,7,9, 又B=1，2，9，AB=2,A=2,3,5,7.,【评析】事实上,在解决这类问题时,将Venn图的使用与分 析法相结合更准确简捷.,设A，B都是不超过8的正整数组成的全集U的子集AB=3, (CUA)(CUB)=1,8,(CUA)B=4,6,求集合A，B.,解：U=1,2,3,4,5,6,7,8，在Venn图中将1,2,3,4,5,6,7,8分别填入到相应的位置中去，则由AB=3,CUACUB=1,8, (CUA)B=4,6得A(CUB)=2,5,7. A=2,3,5,7,B=3,4,6.,学点七 集合运算的应用,已知集合S=1,3,x3+3x2+2x,A=1,|2x-1|,如果CSA=0, 则这样的实数x是否存在?若存在,求出x;若不存在,说明理由.,【分析】解决此问题的关键是正确理解CSA=0的意义, 它有两层含义,即0S,但0A,这样解题思路就清楚了.,【评析】解答此题时,我们由CSA=0求出x1=0,x2=-1,x3=-2之后,验证其是否符合题目的隐含条件AS是必要的,否则就会误认为x1=0或x3=-2也是所求的实数x,从而得出错误的结论.集合概念及其基本理论是近、现代数学的最基础的内容之一,学好这部分知识的目的之一就是在于应用. 因此，一定要学会读懂集合的语言和符号,并能运用集合的观点研究、判断和处理简单的实际问题.,解：（1）如A=1,2,3,B=2,3,4,则A-B=1. （2）不一定相等，由（1）知B-A=4，而A-B=1，B-AA-B.再如A=1，2，3，B=1,2,3,A-B=，B-A= ,此时A-B=B-A.故A-B与B-A 不一定相等. （3）因为A-B=x|x6, B-A=x|-6x4, A-(A-B)=x|4x6, B-(B-A)=x|4x6, 由此猜测:一般的对于两个集合A，B，有A-（A-B）=B-（B- A）,设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集为A-B=x|xA且xB. （1）试举出两个数集A，B，求它们的差集； （2）差集A-B与B-A是否一定相等？并说明你的理由； （3）已知A=x|x4,B=x|x|6，求A-（A-B）及B-（B-A），由此 你可以得到什么更一般的结论？（不必证明）,1.在解题时如何用好集合语言? 解集合问题,不仅仅是运用集合语言,更重要的是明确集合语言所蕴含的真实的数学含义,集合语言的转换过程,实质就是在进行数学问题的等价转换时,向着我们熟悉的能够解决的问题转化. 2.在学习时应注意什么问题? (1)对于交集、并集、全集、补集等概念的理解,要注意教材中的实例和Venn图的直观作用. (2)要善于将三者进行比较记忆,找出它们之间的联系与区别.,(3)注意在集合运算中,运用Venn图,借助于数轴等几何方法直观理解. (4)学会集合语言的运用,并逐渐学会用集合的观点研究事物的内涵与外延. 3.怎样理解全集和补集？ 全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它仅仅含有我们所要研究的问题中所涉及的所有元素，如研究方程实根，全集取为R;研究整数，全集取为Z，同时，要理解补集的定义的 用法.,1.交集与并集是集合的两种不同运算,对它们概念的理解要特别注意“且”与“或” 的区别.交集和并集的符号“”“”既有相同的地方,但又完全不同,不要混淆. 2.对于交集“AB=x|xA,且xB”,不能简单地认为AB中的任一元素都是A与B的公共元素,或者简单地认为A与B的公共元素都属于AB,这是因为并非任何两个集合总有公共元素. 3.对于并集“AB=x|xA,或xB”,不能简单地理解为AB是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合,这是因为A与B可能有公共元素,4.Venn图在研究集合与元素、集合与集合关系中有广泛的应用,它主要体现在用图示帮助我们加强问题的理解,是数形结合在集合中的具体体现,特别是在解决列举法给出的集合运算中应用广泛. 5.解决集合问题,应从元素入手进行分析处理.在顺向思维受阻时,改用逆向思维,可能“柳暗花明”,从这个意义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能,这是转化思想的又一体现.,祝同学们学习上天天有进步！,
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