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第六章 空间与图形 6.3图形的相似,中考数学 (浙江专用),1.(2017杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则() A.=B.= C.=D.=,考点一 相似的有关概念及性质,A组 2014-2018年浙江中考题组,五年中考,答案B利用平行线分线段成比例可得=,此题选B.,2.(2016杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F.若=,则=() A.B.C.D.1,答案Babc,=,又=,=,故选B.,关键提示本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.,3.(2015嘉兴、舟山,5,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F.AC与DF相交于点G,且AG=2,GB=1,BC=5,则的值为() A.B.2C.D.,答案D=,故选D.,4.(2014宁波,8,4分)如图,梯形ABCD中,ADBC,B=ACD=90,AB=2,DC=3,则ABC与DCA的面积比为() A.23B.25C.49D.,答案CADBC,ACB=DAC. 又B=ACD=90,CBAACD, =.又AB=2,DC=3, =.故选C.,评析本题主要考查了三角形相似的判定及性质.,5.(2015金华,14,4分)如图,直线l1,l2,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.,答案5,解析直线l1,l2,l6是一组等距离的平行线, =,即=. 又l3l6,ABCAEF. =. BC=2,=EF=5.,6.(2015杭州,22,12分)如图,在ABC中(BCAC),ACB=90,点D在AB边上,DEAC于点E. (1)若=,AE=2,求EC的长; (2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由.,解析(1)因为ACB=90,DEAC, 所以DEBC, 所以=. 因为=,AE=2,所以=, 解得EC=6. (2)如图,若CFG1=ECD, 则线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线. 证明:因为CFG1=ECD, 所以CFG1=FCP1, 又因为CFG1+CG1F=90,FCP1+P1CG1=90, 所以CG1F=P1CG1. 所以CP1=G1P1. 又因为CFG1=FCP1, 所以CP1=FP1,所以CP1=FP1=G1P1, 所以线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线. 若CFG2=EDC, 则线段CP2为RtCFG2的FG2边上的高. 证明:因为DEAC, 所以DEC=90, 所以EDC+ECD=90, 因为CFG2=EDC,所以ECD+CFG2=ECD+EDC=90, 所以CP2FG2, 即CP2为RtCFG2的FG2边上的高. 当CD为ACB的平分线时,CP既是CFG的FG边上的高又是中线 .,评析本题主要考查了平行线分线段成比例的性质、直角三角形两锐角的关系、等腰三角形的判定、分类讨论思想的应用,有一定的难度.分类讨论时比较容易遗漏某种情况.,1.(2017杭州,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DEBC于点E,连接AE,则ABE的面积等于.,考点二 相似图形的判定,答案78,解析DEBC, BAC=DEC,又C=C, ABCEDC,=, 在RtBAC中,AC=20,AB=15, BC=25, 又AD=5,CD=15,EC=12,BE=13, SABE=SABC=1520=78.,思路分析ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容易求得,故将问题转化为求BE的长度,由ABCEDC可得=,从而求出EC,由此即可 得出BE.,2.(2016嘉兴,15,5分)如图,已知ABC和DEC的面积相等,点E在BC边上,DEAB交AC于点F,AB=12,EF=9,则DF的长是.,答案7,解析作AGBC于点G,DHBC于点H, DEAB,ABCFEC,=, 即=,又SABC=SDEC, 即BCAG=ECDH, =,=,ABDE,B=DEH, AGBC,DHBC,AGB=DHE=90, ABGDEH, =,=,即DE=16, FD=DE-FE=16-9=7.,思路分析作两三角形的高,利用面积相等及平行的条件列式求出DE长,进而可得DF的长.,3.(2018杭州,19,8分)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E. (1)求证:BDECAD; (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.,解析(1)证明:AB=AC,B=C, 又AD为BC边上的中线,ADBC, DEAB, DEB=ADC=90, BDECAD. (2)易知BD=BC=5, 在RtADB中,AD=12, 由(1)易得=,=, DE=.,思路分析(1)由等腰三角形的性质,得B=C,ADBC,因为DEAB,所以DEB=ADC,根据相似三角形的判定定理,即可解决问题. (2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的结论列式求解.,解题关键本题考查相似三角形的判定定理和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识并灵活应用.,4.(2017杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC. (1)求证:ADEABC; (2)若AD=3,AB=5,求的值.,解析(1)证明:因为AFDE,AGBC, 所以AFE=90,AGC=90, 所以AEF=90-EAF,C=90-GAC, 又因为EAF=GAC, 所以AEF=C, 又因为DAE=BAC, 所以ADEABC. (2)因为ADEABC, 所以ADE=B, 又因为AFD=AGB=90, 所以AFDAGB, 所以=, 又因为AD=3,AB=5, 所以=.,5.(2015丽水,23,10分)如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连接CF并延长交AB于点M,MNCM交射线AD于点N. (1)当F为BE中点时,求证:AM=CE; (2)若=2,求的值; (3)若=n,当n为何值时,MNBE?,解析(1)证明:F为BE中点,BF=EF. ABCD,MBF=CEF,BMF=ECF. BMFECF(AAS).MB=CE. AB=CD,CE=DE,MB=AM.AM=CE. (2)设MB=a,ABCD,BMFECF. =2,=2.CE=2a. AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a. =2,BC=AD=2a. MNMC,A=ABC=90,AMNBCM. =,即=.AN=a,ND=2a-a=a. =aa=3. (3)解法一:=n,设MB=a,与(2)同理可得CE=na,AM=(2n-1)a,BC=2a, 由AMNBCM,得AN=(2n-1)a,DN=,DHAM,=,DH=(2n-5)a,HE=(5-n)a. 当MNBE时,四边形MBEH是平行四边形, (5-n)a=a,n=4. 当n=4时,MNBE. 解法二:=n,设MB=a,与(2)同理可得CE=na,BC=2a, 当MNBE时,CMBE,可证MBCBCE,=. =,n=4. 当n=4时,MNBE.,思路分析(1)所证结论是相等关系,考虑证三角形全等. (2)设MB=a,利用相似三角形将AN,ND用含a的式子表示出来,进而得比值. (3)类比(2)求解.,评析本题是探究型问题,考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质.,6.(2014丽水、衢州,23,10分) 提出问题: (1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AEDH于点O,求证:AE=DH; 类比探究: (2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EFHG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由; 综合运用: (3)在第(2)问条件下,HFGE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.,解析(1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=DA,ABE=DAH=90. HAO+OAD=90. AEDH, ADO+OAD=90. HAO=ADO. ABEDAH(ASA), AE=DH. (2)EF=GH. 理由如下:将FE平移到AM处,则AMEF,AM=EF. 将GH平移到DN处,则DNGH,DN=GH.,EFGH,AMDN, 根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH. (3)四边形ABCD是正方形, ABCD, AHO=CGO, FHEG, FHO=EGO, AHF=CGE, 又HAF=GCE=90, AHFCGE,又FHEG, =, EC=2,AF=1, 过F作FPBC于点P,BP=AF=1,PF=BC=4, PE=BE-BP=1, 则有EF=, FHEG, =, =, 根据(2)知EF=GH, FO=HO. SFOH=FO2=,SEOG=EO2=, 阴影部分面积为SFOH+SEOG=.,评析本题考查了三角形的综合知识.用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等,综合性较强,难度较大.,1.(2018杭州,10,3分)如图,在ABC中,点D在AB边上,DEBC,与边AC交于点E,连接BE.记ADE,BCE的面积分别为S1,S2() A.若2ADAB,则3S12S2B.若2ADAB,则3S12S2D.若2ADAB,则3S12S2,考点三 相似图形的应用,答案D由平行线分线段成比例知=, 当AD=BD时,AE=EC,则DE为ABC的中位线, 此时=,即3S1=S四边形BDEC, DE为ABC的中位线,E为AC的中点, 易得SBEC=SBAE,2S2=SABC,2S23S1. 当2AD3S1; 当2ADAB时,AECE,S1变大,S2变小,不能确定2S2与3S1的大小关系,故选D.,2.(2016湖州,10,3分)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连接AD,使得DAC=ACD.如图3,将ACD沿着AD折叠,使得点C落在点E处,连接BE,得到四边形ABED.则BE的长是() A.4B.C.3D.2,答案B如图,设AE与BC交于点O,C=. AB=AC,ABC=C=,由已知条件及折叠的性质得1=2=3=C=,AE=AC=AB=4, CDACAB,AC2=CDCB,CD=,BD=. ADO=ADB,2=ABD, ADOBDA,AD2=DODB,又AD=CD,DO=. CO=DO+CD=,BO=BC-CO=. BAE=180-4,由AE=AB得ABE=AEB,AEB=2,EAC=2, AEB=EAC,ACBE,ACOEBO, =,BE=,故选B.,3.(2015衢州,9,3分)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF,tan =,则“人字梯”的顶端离地面的高 度AD是() A.144 cmB.180 cmC.240 cmD.360 cm,关键提示本题考查了等腰三角形的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质.解题的关键是多次运用相似求出相关线段的长.,答案B如图: 根据题意可知:AFOACD,OF=EF=30 cm, =,=,CD=72 cm. tan =,=, AD=72=180(cm).故选B.,思路分析在RtADC中已知tan =,根据正切函数的定义,要求AD,只需求出DC,这可由相 似三角形获得.,4.(2018宁波,25,12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形. (1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长; (2)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分ABC,BAC=ADC. 求证:ABC是比例三角形; (3)如图2,在(2)的条件下,当ADC=90时,求的值.,解析(1)或或. (2)证明:ADBC, ACB=CAD, 又BAC=ADC, ABCDCA, =,即CA2=BCAD. ADBC, ADB=CBD, BD平分ABC, ABD=CBD, ADB=ABD, AB=AD,CA2=BCAB, ABC是比例三角形. (3)如图,过点A作AHBD于点H. AB=AD, BH=BD. ADBC,ADC=90, BCD=90, BHA=BCD=90. 又ABH=DBC,ABHDBC, =, ABBC=DBBH, ABBC=BD2. 又ABBC=AC2, BD2=AC2, =.,5.(2018湖州,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且=m,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F. (1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH. 求证:四边形DHEC是平行四边形; 若m=,求证:AE=DF; (2)如图2,若m=,求的值.,解析(1)证明:EHAB,BAC=90, EHCA, BHEBAC, =, =, =, =, HE=DC, 四边形DHEC是平行四边形. =,BAC=90,AC=AB, =,HE=DC,=, 又BHE=90,BH=HE.,HE=DC,BH=CD,AH=AD. DMAE,EHAB, EHA=AMF=90, HAE+HEA=HAE+AFM=90, HEA=AFD, EHA=FAD=90, HEAAFD, AE=DF. (2)过点E作EGAB于G, CAAB, EGCA,EGA=AMF=90, GEA+EAG=EAG+AFM, AFM=AEG, FAD=EGA=90, FADEGA, =.,EGBCAB,=, =, =, EG=CD. 设EG=CD=3x,AC=3y, 由题意得BE=5x,BC=5y, BG=4x, AB=4y,小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题: (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两邻边长又分别为多少mm?请你计算;,6.(2014绍兴,20,8分)课本中有一道作业题:,图1 图2,(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两邻边长.,解析(1)设PQ=x mm, APNABC, =, =,解得x=,PN=2x=. 这个矩形零件的两邻边长分别为 mm, mm. (2)设PQ=x mm, APNABC, =, =, 解得PN=120-x, S矩形=x=-x2+120 x=-(x-40)2+2 400, 当x=40,即PQ=40 mm,PN=60 mm时,矩形面积最大.,1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为() A.49B.25 C.23D.,B组 2014-2018年全国中考题组,考点一 相似的有关概念及性质,答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.,2.(2015山东聊城,7,3分)下列命题中的真命题是() A.两边和一角分别相等的两个三角形全等 B.相似三角形的面积比等于相似比 C.正方形不是中心对称图形 D.圆内接四边形的对角互补,答案DA项,在两边和一角中,当角为两边中一边的对角时,这两个三角形不一定全等,故本选项错误;B项,相似三角形面积比等于相似比的平方,故本选项错误;C项,正方形是中心对称图形,故本选项错误;D项,圆内接四边形对角互补,故本选项正确.故选D.,3.(2015甘肃兰州,17,4分)如果=k(b+d+f0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=.,答案3,解析由题意可得=k,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.,4.(2014湖北武汉,24,8分)如图,RtABC中,ACB=90,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ. (1)若BPQ与ABC相似,求t的值; (2)连接AQ、CP,若AQCP,求t的值; (3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上.,解析(1)由题意知,BP=5t cm,CQ=4t cm,BQ=(8-4t)cm. 在RtABC中,AB=10 cm. 当PBQABC时,有=,即=,解得t=1. 当QBPABC时,有=,即=,解得t=. PBQ与ABC相似时,t=1或.,(2)如图,过点P作PDBC于D. 依题意,得BP=5t cm,CQ=4t cm.则PD=PBsin B=3t cm, BD=4t cm,CD=(8-4t)cm. AQCP,ACB=90,tanCAQ=tanDCP. =.=,t=.,(3)证明:如图,过点P作PDAC于D,连接DQ、BD,BD交PQ于M,则PD=APcosAPD=APcosABC=(10-5t)=(8-4t)cm. 而BQ=(8-4t)cm,PD=BQ,又PDBQ,四边形PDQB是平行四边形.点M是PQ和BD的中点. 过点M作EFAC交BC,BA于E,F两点. 则=1,即E为BC的中点.同理,F为BA的中点. PQ的中点M在ABC的中位线EF上.,1.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边ABC边AB上的一点,且ADDB=12,现将ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CECF=() A.B.C.D.,考点二 相似图形的判定,答案B设等边ABC的边长为3, 则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知C=EDF=60, EDA+FDB=120, 在AED中,A=60, AED+ADE=120, AED=BDF, 又A=B,AEDBDF, =, 又CE=DE,CF=DF, =,=, 可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF, 2CE-3CF=CF-3CE,=.故选B.,2.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,ABC和EPD的顶点均在格点上,要使ABCEPD,则点 P所在的格点为() A.P1B.P2C.P3D.P4,答案C设方格纸中各小正方形的边长为1.由题图可知,E=A=90,要使ABCEPD,则=2,所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定,设计巧妙,属容易题.,3.(2015山东临沂,18,3分)如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,则=.,答案2,解析连接DE,BD,CE是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC, OBCODE,=2.,(2014北京,10,4分)在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时测得一根旗杆的影长为25 m,那么这根旗杆的高度为m.,考点三 相似图形的应用,答案15,解析设旗杆的高度为x m,则=,解得x=15.即旗杆的高度为15 m.,1.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为() A.(2,5)B.(2.5,5) C.(3,5)D.(3,6),C组 教师专用题组,考点一 相似的有关概念及性质,答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5, 则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,2.(2014湖北武汉,6,3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为() A.(3,3)B.(4,3) C.(3,1)D.(4,1),答案A线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,端点C的坐标为(3,3).故选A.,评析本题主要考查位似图形的性质,属容易题.,3.(2014辽宁沈阳,8,3分)如图,在ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DEBC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为() A.7.5B.10C.15D.20,答案C由题意可得ADEABC,相似比为,所以BC=3DE=15,故选C.,评析本题考查相似三角形的判定与性质,属容易题.,4.(2015辽宁沈阳,14,4分)如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的,则ABDE=.,答案23,解析ABC与DEF位似, ABCDEF,=. SABC=SDEF,=.=, =(舍负),即ABDE=23.,5.(2015天津,16,3分)如图,在ABC中,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.,答案,解析DEBC, =, =, =,DE=.,评析本题考查平行线分线段成比例定理.由DEBC可得=,从而可计算出DE的长.,1.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 对于两人的观点,下列说法正确的是() A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对,考点二 相似图形的判定,答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.,2.(2016陕西,17,5分)如图,已知ABC,BAC=90.请用尺规过点A作一条直线,使其将ABC分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法),解析如图,直线AD即为所作.(5分),1.(2015江苏连云港,25,10分)如图,在ABC中,ABC=90,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点D作DHAB,交BC的延长线于点H. (1)求BDcosHBD的值; (2)若CBD=A,求AB的长.,考点三 相似图形的应用,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90, 又ACB=DCH, ABCDHC,=. AC=3CD,BC=3,CH=1. BH=BC+CH=4. 在RtBHD中,cosHBD=, BDcosHBD=BH=4.(4分) (2)解法一:A=CBD,ABC=BHD, ABCBHD.(6分) =. ABCDHC,=, AB=3DH. =,DH=2,AB=6.(10分),解法二:CBD=A,BDC=ADB, CDBBDA.=,BD2=CDAD, BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分) CDBBDA,=,=, AB=6.(10分),2.(2015江苏南京,20,8分)如图,ABC中,CD是边AB上的高,且=. (1)求证:ACDCBD; (2)求ACB的大小.,解析(1)证明:CD是边AB上的高, ADC=CDB=90. 又=,ACDCBD.(4分) (2)ACDCBD, A=BCD. 在ACD中,ADC=90, A+ACD=90, BCD+ACD=90, 即ACB=90.(8分),(2016杭州滨江二模,8)有两个相似三角形,它们的周长分别是36和12,周长较大的三角形的最大边长为15,周长较小的三角形的最小边长为3,则周长较大的三角形的面积是() A.52B.54C.56D.58,考点一 相似的有关概念及性质,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,答案B两相似三角形的周长分别是36和12,相似 比为31.周长较大的三角形的最大边长为15,周长较小的三角形的最小边长为3,周长较大的三角形的最小边长为9,周长较小的三角形的最大边长为5,周长较大的三角形的第三条边长为12,92+122=152,两个三角形均为直角三角形,周长较大的三角形的面积=912= 54,故选B.,1.(2016宁波北仑一模,16)在ABC中,D,E分别在边AB、AC上,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要使ADE与ABC相似,则线段AE的长为cm.,考点二 相似图形的判定,答案4或,解析分两种情况讨论: 当ADEABC时,如图,有=. AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE= cm. 当ADEACB时,如图,有=. AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,AE=4 cm. 综上,AE=4 cm或 cm.,2.(2018杭州名校二模,19)如图,在ABC中,AD是BAC的平分线,点E在边AC上,且AD2=AEAB,连接DE. (1)求证:ABDADE; (2)若CD=3,CE=,求AC的长.,解析(1)证明:AD平分BAC, BAD=CAD. 又AD2=AEAB, =, ABDADE. (2)ABDADE, ADB=AED. EDC=180-(ADB+ADE)=180-(AED+ADE)=DAC, 且C=C, CEDCDA, =, CD2=ECCA, AC=4.,1.(2018滨江二模,10)如图,ABCDBE,延长AD交CE于点P.若DEB=45,AC=2,DE= ,BE=1.5,则tanDPC=(),A.B.2C.D.,考点三 相似图形的应用,答案BABCDBE,=, ACB=DEB=45. 又AC=2,DE=,BE=1.5,BC=3. 过点A作AHBC于点H.,ACH=45, AH=CH=ACsinACH=2=2, BH=BC-CH=3-2=1.,ABCDBE, ABC=DBE,=,ABD=CBE. ABDCBE, BAD=BCE. 又AOB=COP, DPC=ABC, tanDPC=tanABC=2.故选B.,方法与策略1.要想到把DPC放在直角三角形中解决,所以构造直角三角形并将DPC转化到RtABH中.,2.由已知的相似推导出另一对三角形相似,从而把所求的角转化到已知的直角三角形中,问题就解决了.,2.(2018丽水二模)如图,已知锐角ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高. (1)求证:ABDCBE; (2)若ABC和BDE的面积分别是20和5,DE=2,求点B到直线AC的距离.,解析(1)证明:ADBC于点D,CEAB于点E, CEB=ADB=90, B=B, ABDCBE. (2)由(1)知ABDCBE,=. B=B, BEDBCA, =. ABC和BDE的面积分别为20和5,DE=2, AC=4, 点B到直线AC的距离为=5.,1.(2017杭州西湖一模,8)如图,BD是ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DEAB,DEF=A,EF与BD交于点M,以下结论:BDE是等腰三角形;四边形AFED是菱形;BE=AF;若AFBF=34,则DEM的面积BAD的面积=949,其中正确的是() A.B. C. D.,B组20162018年模拟提升题组 (时间:55分钟分值:80分),一、选择题（每小题3分，共12分）,答案BDEAB,BD平分ABC, ABD=BDE=DBE, BDE是等腰三角形,正确. 四边形AFED是平行四边形,不一定是菱形,错误. BE=ED=AF,正确. ABDEDM,=,正确.故选B.,2.(2017温州七校联考,9)如图,ABC中,D、E两点分别在BC、AD上,且AD平分BAC,若ABE=C,ADED=31,则BDE与ADC的面积比为() A.1645B.29C.19D.13,答案BADED=31, AEAD=23, ABE=C,BAE=CAD, ABEACD, SABESACD=49, SACD=SABE, AEED=21, SABESBED=21, SABE=2SBED, SACD=SABE=SBED, SBDE与SADC的比为29.,3.(2016宁波慈溪一模,9)如图,在ABC中,DEBC,且=,则S四边形DBCESABC=() A.14B.19C.34D.89,答案DD、E分别是ABC的AB、AC边上的点,DEBC,ADEABC. AEEC=12,AEAC=13, SADESABC=19,=.故选D.,4.(2016杭州萧山一模,1)下列判断不正确的是() A.所有等腰直角三角形都相似 B.所有直角三角形都相似 C.所有正六边形都相似 D.所有等边三角形都相似,答案B两个直角三角形的锐角不一定对应相等,所以两个直角三角形不一定相似,故选项B不正确,故选B.,5.(2018舟山二模,8分)如图,在ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上,DEF=B. (1)求证:BDECEF; (2)若点E是BC的中点,=,EF=6,求CF.,二、解答题（共68分）,解析(1)证明:AB=AC, B=C. BDE=180-B-DEB, CEF=180-DEF-DEB, DEF=B, BDE=CEF, BDECEF. (2)BDECEF, =, 点E是BC的中点, BE=CE, =, DEF=B=C, DEFECF,=, EF=6,CF=4.,6.(2018奉化一模,8)如图,在ABC中,点D为BC上一点,AB=AD=BD,过点D作DEAB交AC于点F,且CAE=60,连接AE交BC于点G. (1)求证:AEDCAD; (2)若AB=2,求DECD的值.,解析(1)证明:AB=AD=BD, ABD是等边三角形,BAD=ABD=ADB=60, ADC=BAD+ABD=120, DEAB, FDC=ABC=GDE=60,BAE=AED, BAD=CAE=60, BAE=BAD-EAD=EAF-EAD=DAF, ADE=ADB+BDE=60+60=120=ADC,又DAF=AED, AEDCAD. (2)由(1)得,AEDCAD, 则=,即AD2=EDCD, AB=AD=2, DECD=AB2=(2)2=12.,7.(2018金华二模)如图,在RtABC中,BAC=90,D,E两点分别在BC,AD上,AD平分BAC,ABE=C. (1)求证:ABEACD; (2)若点E是AD的中点,BC=5,求BDE的面积.,解析(1)证明:AD平分BAC, BAE=DAC, ABE=C, ABEACD. (2)由(1)得ABEACD, =,即AC=2AB, BAC=90, AB=,AC=2. ABC中,设BC边上的高为h, 则ABAC=BCh,解得h=2, 点E是AD的中点, 在BDE中,BD边上的高为h=1. 如图,过点D作DFAC于点F,设AF=x, BAC=90,AD平分BAC,DAC=45,DF=AF=x, CF=2-x,易得DFAB,=,即=,解得x=, =,=,BD=BC=, SBDE=BDh=1=.,8.(2017杭州上城一模,23)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们就把这条线段叫做这个三角形的优美线. (1)在ABC中,AD为角平分线,B=50,C=30,求证:AD为ABC的优美线; (2)在ABC中,B=46,AD是ABC的优美线,且ABD是以AB为腰的等腰三角形,求BAC的度数; (3)在ABC中,AB=4,AC=2,AD是ABC的优美线,且ABD是等腰三角形,求优美线AD的长.,解析(1)证明:如图, B=50,C=30, BAC=180-B-C=100, AD平分BAC, BAD=DAC=50, B=BAD=50,DB=DA, ABD是等腰三角形, C=C,DAC=B=50,CADCBA, 线段AD是ABC的优美线. (2)由题意知CADCBA, 且等腰ABD中,AB=AD或AB=BD. 若AB=AD,则B=ADB=CAD,则ACBC,不符合题意, AB=BD,又B=46, BAD=BDA=67, CAD=B=46, BAC=67+46=113. (3)由题意知CADCBA. 当AD=BD时,CADCBA, =,设BD=AD=x,CD=y, =,解得x=,y=, AD=. 当AB=BD=4时,设AD=x,CD=y, 由=,可得=, 解得y=-2+2,x=4-4, AD=4-4. 当AB=AD时,显然不可能. 综上所述,AD=或4-4.,9.(2017杭州拱墅二模,22)如图,G,H分别为ABCD的边AB,AD的延长线上的点,GH分别交BC,CD于E,F,连接AC,交HG于点P. (1)求证:HDFEBG; (2)如果ACAP=43, 若DF=4,FC=5,求BG的长; 若HG=nEF(n为正整数),试求n的值.,解析(1)证明:如图,在ABCD中, ADCB,CDAB, 1=2,3=4 HDFEBG. (2)CFAG, FCPGAP, =,又=,CF=5, =, AG=15, BG=15-AB=15-CD=15-(4+5)=6. ADCB,CDAB, ECPHAP,FCPGAP, =,=, PH=3PE,PG=3PF, HG=PH+PG=3PE+3PF=3EF, n=3.,10.(2017杭州西湖一模,23)已知D是等边ABC的边AB上的一点,现将ABC折叠,使点C与点D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上. (1)如图1,如果点D是线段AB的中点,求CE与CF的比; (2)如图2, 求证:ADEBFD; 如果ADDB=12,求CE与CF的比; (3)如果ADDB=1n,求CE与CF的比. 图1图2(备用图),解析(1)连接CD.D为AB中点,ABC为等边三角形,CDAB,EFCD,EFAB, CEFCAB, CEF为等边三角形, CE=CF,CECF=11. (2)证明:EFC与EFD关于直线EF对称, EDF=ECF=60,EC=ED,FC=FD, BDF+FDE=BDE=A+DEA, 又FDE=A=60, BDF=DEA,又B=A, ADEBFD. 设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ADBD=12,DB=2x, AB=3x=AC=BC,AE=3x-a,BF=3x-b, ADEBFD,=,=, 由=可得2ax=b(3x-a), 由=可得(3x-a)(3x-b)=2x2,即3x(3x-a)-b(3x-a)=2x2, 3x(3x-a)-2ax=2x2, 可得a=x=1.4x, =, CECF=45. (3)设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b, ADBD=1n,DB=nx, AB=(n+1)x=AC=BC, AE=(n+1)x-a,BF=(n+1)x-b, ADEBFD,=,=, 由=可得nax=b(n+1)x-a, 由=可得(n+1)x-a(n+1)x-b=nx2, 即(n+1)x(n+1)x-a-b(n+1)x-a=nx2, (n+1)x(n+1)x-a-nax=nx2,可得a=x, =, CECF=(n+2)(2n+1).,11.(2016杭州滨江二模,22)已知D为ABC边BC上的动点(点D不与B、C重合),过D作DEAC,DFAB分别交AB,AC于点E,F. (1)证明:BDEDCF; (2)若DE=DF,且FC=AF,求的值; (3)若ABC的面积为10,点G为AF上的动点,设FC=xAC,求DEG的面积y的最大值.,解析(1)证明:DEAC,DFAB, BDEBCA,DCFBCA, BDEDCF. (2)解法一:DEAC,DFAB, 四边形AEDF为平行四边形. 又DE=DF, AEDF为菱形, AF=DF=DE. BEDDFC, =, =. 解法二:因为FC=AF,可设FC=2a,则AF=3a,同解法一可得四边形AEDF为菱形,则DF=DE=AF =3a, BEDDFC,=, 可得BE=a, BEAF=a3a=32,即=. (3)BACDFC, 又SABC=10,=x, SDFC=10 x2,同理,由=1-x可得SBDE=10(1-x)2, y=SAEDF=(SABC-SDFC-SBDE)=-10 x2+10 x(0x1), 当x=(满足0x1)时,y取最大值,为.,
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