实验4最小光照点的确定.ppt

实验4 最小光照点的确定,内容提要 本实验将数学软件计算有关函数最小值的应用问题,以此说明函数极值、最大（小）值的确定方法，有关函数的极值、最大（小）值的理论知识请参见第二章第九节。 问题的提出 现有两个等强度的光源A、B相距10m（图18）。已知单光源对某点的光照强度与光源的强度成正比，与光源到该点的距离的平方成反比。设线段CD与AB平行并相距d，其中和均与垂直。现要在线段上求光照强度最小的一点P。,最小光照点的确定,实验的步骤 首先设点与点相距为，再不妨设两个光源强度为一个单位。比例系数为，从而建立点光照强度为函数（） 再mathematica环境下，键入:,最小光照点的确定,并运行，现在的问题即为求f(x)的最小值由最小值的计算方法可知先要求出所有的极值点。由于f(x)可导，故极值点必为驻点，因此，只需要求出f(x)的零点，为此键入: 并运行，即得得零点为:,最小光照点的确定,从（）式易知4，5为复数，再从（）可知当251 即 为实数，当25即 为复数。 为了利用极值得第二充分条件，我们判断f（x）在这些驻点的符号，将1，2，3的表达式（2）和（3）代入后，得到以个以d作为自变量的函数，我们把这个函数记为g1(d),g(2d),g3(d)，易知它们的定义域分别为，（，（，,最小光照点的确定,由此键入: 运行后我们再分别在，及，内作出1（）及2（）、3（）的图形（如图）,键入 :,最小光照点的确定,运行后出现红色的警告信息，这些信息表示（）和（）在处无意义。事实上易知当时，而从（）的表达式（）可知，（）此时无意义，从而二阶导数（）、（）和（）在处也无意义,最小光照点的确定,为确定g1（d），g2（d）和g3（d）的符号，我们求出它的零点，即键入： 运行后知三个函数均有相同的唯一零点，再借助它们的图形可知，只有（），即“（），当时大于零，从而可知为唯一的极值点，故最小值为（），（），（），而（）。通过计算可得：,最小光照点的确定,由此推得，当时（）（）（）；当时（）（）（）；当时（）（）（）。 因此得到结论：当时，得（）最小值点为；当时，得（）最小值点为、及；当时；得最小值为和。，,最小光照点的确定,为了清楚得观察函数图形得变化情况，我们用命令作出时函数得图形立即键入： 从图形上可进一步清楚地看到其极值点的变化情况（如图）。 本题如果不使用计算机帮助计算和显示图形，解题过程将非常复杂，而且也难以对付函数的变化情况有如此清晰的了解；但是反过来，如果仅利用计算机而忽视理论的推导，我们也无法得到满意的结果。只有两者的结合才能达到有效、便捷的效果。,