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1.2.2同角三角函数的基本关系,第一章1.2任意角的三角函数,学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点同角三角函数的基本关系式,思考1计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得siny，cosx.sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2由三角函数的定义知，tan与sin和cos间具有怎样的等量关系？,梳理(1)同角三角函数的基本关系式平方关系：.商数关系：_.(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin2；cos2.tan的变形公式sin；cos_.,sin2cos21,1cos2,1sin2,costan,思考辨析判断正误1.sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.,答案,提示,题型探究,类型一利用同角三角函数的关系式求值,命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值,答案,解析,答案,解析,反思与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin，cos，tan三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sincos)212sincos的等价转化，分析解决问题的突破口.,跟踪训练1已知tan，且是第三象限角，求sin，cos的值.,解答,又sin2cos21，,又是第三象限角，,命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值,解答,是第二或第三象限角.(1)当是第二象限角时，则,(2)当是第三象限角时，则,反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.,是第一或第四象限角.(1)当是第一象限角时，则,解答,类型二齐次式求值问题,解答,例3已知tan2，求下列代数式的值.,反思与感悟(1)关于sin，cos的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos或cos2转化为关于tan的式子后再求值.(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan的代数式.,解答,所以tan3.,解答,(2)sin22sincos1.,类型三三角函数式的化简与证明,解答,证明,原等式成立.,反思与感悟(1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.,(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简.证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).比较法：即证左边右边0或1(右边0).证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.,解答,解因为是第二象限角，所以sin0，cos0.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,证明方法一(比较法作差),1,2,3,4,5,方法二(比较法作商),规律与方法,1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sincos，sincos，sincos中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.,4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.,
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