2023届大一轮复习 第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题（共3小题）1. 直线 y=kxk+1 与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为 A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定 2. 过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 3. 过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 二、填空题（共8小题）4. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是 5. 过点 A1,0 作倾斜角为 4 的直线，与抛物线 y2=2x 交于 M、N 两点，则 MN= 6. 设双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 7. 已知椭圆 x24+y2=1，直线 l：y=x+35，则椭圆 C 上点到直线 l 距离的最大值为 ，最小值为 8. 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 x25+y24=1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 9. 已知 P1,1 为椭圆 x24+y22=1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为 10. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的内接 ABC 的顶点 B 为短轴的一个端点，右焦点 F，线段 AB 中点为 K，且 CF=2FK，则椭圆离心率的取值范围是 11. 已知点 P0,1，椭圆 x24+y2=mm1 上两点 A，B 满足 AP=2PB，则当 m= 时，点 B 横坐标的绝对值最大 三、解答题（共16小题）12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E:x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求 AF1F2 的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 OPQP 的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记 OAB 与 MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 13. 已知 A，B 分别为椭圆 E：x2a2+y2=1a1 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AGGB=8，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点 14. 已知直线 l：y=kx+2，椭圆 C：x24+y2=1试问当 k 取何值时，直线 l 与椭圆 C：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点 15. 若直线 l：y=kx+2 与曲线 C：y2=x 恰好有一个公共点，求实数 k 的取值集合 16. 已知直线 l:y=2x+m，椭圆 C:x24+y22=1，试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点 17. 已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F，斜率为 32 的直线 l 与抛物线 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若 AF+BF=4，求直线 l 的方程；（2）若 AP=3PB，求 AB 的长 18. 已知动圆过定点 2,0，且在 y 轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的轨迹为 H，点 Em,0m0 为一个定点，过点 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交 H 于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是线段 AB，CD 的中点（1）求轨迹 H 的方程；（2）若 m=1，且过点 E 的两条直线相互垂直，求 EMN 的面积的最小值 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD当直线 AB 的斜率为 0 时，AB=4（1）求椭圆的方程；（2）若 AB+CD=487，求直线 AB 的方程 20. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 12，点 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，点 C 在 E 上，且 ABC 面积的最大值为 23（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 F 为 E 的左焦点，点 D 在直线 x=4 上，过 F 作 DF 的垂线交椭圆 E 于 M，N 两点证明：直线 OD 平分线段 MN 21. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 12，点 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，点 C 在 E 上，且 ABC 面积的最大值为 23（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 F 为 E 的左焦点，点 D 在直线 x=4 上，过 F 作 DF 的垂线交椭圆 E 于 M，N 两点证明：直线 OD 平分线段 MN 22. 已知动圆过定点 A2,0，且在 y 轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的轨迹为 H，点 Em,0m0 为一个定点，过点 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交 H 于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是线段 AB，CD 的中点（1）求轨迹 H 的方程；（2）若 m=1，且过点 E 的两条直线相互垂直，求 EMN 的面积的最小值；（3）若 k1+k2=1，求证：直线 MN 过定点 23. 已知椭圆 C：y2a2+x2b2=1（ab0）的短轴长为 2，且椭圆 C 的顶点在圆 M：x2+y222=12 上（1）求椭圆 C 的方程（2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦 AB，CD，求 AB+CD 的最小值 24. 已知椭圆 C：x2a2+y2=1a0，过椭圆 C 的右顶点和上顶点的直线与圆 x2+y2=23 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=2，证明：直线 AB 过定点 25. 如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率是 22，点 P0,1 在短轴 CD 上，且 PCPD=1（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得 OAOB+PAPB 为定值?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 26. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为 32，Aa,0，B0,b，O0,0，OAB 的面积为 1（1）求椭圆 C 的方程（2）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N求证：ANBM 为定值 27. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 32，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A，B 两点，AF+BF=8（1）求椭圆的标准方程；（2）设 Q3,0，若 AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围答案1. A【解析】由于直线 y=kxk+1=kx1+1 过定点 1,1，又 1,1 在椭圆内，故直线与椭圆必相交2. C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x=0，过点 0,1 且平行于 x 轴的直线以及过点 0,1 且与抛物线相切的直线（非直线 x=0 ）3. C【解析】过 0,1 与抛物线 y2=4x 相切的直线有 2 条，过 0,1 与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点4. 153k0,x1+x2=4k1k20,x1x2=101k20. 得 153k15. 266. 5【解析】【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得 【解析】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=bax，与抛物线方程联立消去y得x2bax+1=0渐近线与抛物线有一个交点=b2a24=0，求得b2=4a2，c=a2+b2=5ae=ca=5故答案为：5 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题7. 210，10【解析】先求与直线 l：y=x+35 平行且与椭圆相切的直线 m，设直线 m 的方程为 xy+t=0，联立 y=x+t,x24+y2=1, 消去 y 并整理，得 5x2+8tx+4t24=0因为直线 m 与椭圆相切，所以 =64t280t21=0，解得 t=5，即直线 m 的直线方程为 xy5=0，所以椭圆 C 上点到直线 l 距离的最大和最小值就是直线 l：y=x+35 分别与两条平行线 xy5=0 之间的距离，故最小值是 3552=10，最大值是 35+52=2108. 553【解析】由题意知，椭圆的右焦点 F1 的坐标为 1,0，直线 AB 的方程为 y=2x1由方程组 y=2x1,x25+y24=1, 消去 y，整理得 3x25x=0设 Ax1,y1，Bx2,y2，由根与系数的关系，得 x1+x2=53，x1x2=0 则 AB=x1x22+y1y22=1+k2x1+x224x1x2=1+2253240=553.9. x+2y3=0【解析】解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y1=kx1，弦的端点坐标为 x1,y1，x2,y2由 y1=kx1,x24+y22=1 消去 y 得 2k2+1x24kk1x+2k22k1=0，所以 x1+x2=4kk12k2+1，又因为 x1+x2=2，所以 4kk12k2+1=2，解得 k=12故此弦所在的直线方程为 y1=12x1，即 x+2y3=0解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，弦的端点坐标为 x1,y1，x2,y2，则 x124+y122=1, x224+y222=1, 得 x1+x2x1x24+y1+y2y1y22=0，因为 x1+x2=2，y1+y2=2，所以 x1x22+y1y2=0，所以 k=y1y2x1x2=12所以此弦所在的直线方程为 y1=12x1，即 x+2y3=010. 0,33【解析】由题意可设 B0,b，Fc,0，线段 AB 中点为 K，且 CF=2FK，可得 F 为 ABC 的重心，设 Ax1,y1，Cx2,y2，由重心坐标公式可得，x1+x2+0=3c，y1+y2+b=0，即有 AC 的中点 Mx,y，可得 x=x1+x22=3c2，y=y1+y22=b2，由题意可得点 M 在椭圆内，可得 9c24a2+141，由 e=ca，可得 e213，即有 0e1 可得：Aa,0，Ba,0，G0,1所以 AG=a,1，GB=a,1，所以 AGGB=a21=8所以 a2=9，所以椭圆方程为 x29+y2=1（2） 设 P6,y0，则直线 AP 的方程为：y=y0063x+3，即：y=y09x+3联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得：x29+y2=1,y=y09x+3, 整理得：y02+9x2+6y02x+9y0281=0，解得：x=3 或 x=3y02+27y02+9将 x=3y02+27y02+9 代入直线 y=y09x+3 可得：y=6y0y02+9所以点 C 的坐标为 3y02+27y02+9,6y0y02+9同理可得：点 D 的坐标为 3y023y02+1,2y0y02+1所以直线 CD 的方程为 y2y0y02+1=6y0y02+92y0y02+13y02+27y02+93y023y02+1x3y023y02+1整理可得：y+2y0y02+1=8y0y02+369y04x3y023y02+1=8y063y02x3y023y02+1整理得：y=4y033y02x+2y0y023=4y033y02x32故直线 CD 过定点 32,014. （1） 联立 y=kx+2,x2+4y2=4, 消去 y 并整理，得 1+4k2x2+16kx+12=0，依题意，得 =16k241+4k212=164k23当 0，即 k32 时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点（2） 当 =0，即 k=32 时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点（3） 当 0，即 32k0，即 32m32 时，方程 有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点（2） 当 =0，即 m=32 时，方程 有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点（3） 当 0，即 m32 时，方程 没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点17. （1） 设直线 l 的方程为 y=32x+m，Ax1,y1，Bx2,y2由抛物线焦半径公式可知 AF+BF=x1+x2+32=4，所以 x1+x2=52联立 y=32x+m,y2=3x, 消去 y 并整理，得 9x2+12m12x+4m2=0，则 =12m122144m20，解得 m0，解得 t13，所以 y1+y2=2，y1y1=3t因为 AP=3PB，所以 y1=3y2，所以 y2=1，y1=3，所以 y1y2=3，则 AB=1+49y1+y224y1y2=1334+12=413318. （1） 设动圆圆心的坐标为 x,y，由题意可以得到 x22+y2=x2+4，化简得 y2=4x，所以动圆圆心的轨迹 H 的方程为 y2=4x（2） 当 m=1 时，E 为抛物线 y2=4x 的焦点，因为 k1k2=1，所以 ABCD设直线 AB 的方程为 y=k1x1，Ax1,y1，Bx2,y2由 y=k1x1y2=4x，得 k1y24y4k1=0，则 y1+y2=4k1，y1y2=4，x1+x2=y1+y2k1+2=4k12+2，因为 Mx1+x22,y1+y22，所以 M2k12+1,2k1同理，可得 N2k12+1,2k1所以 SEMN=12EMEN=122k122+2k122k122+2k12=2k12+1k12+222+2=4，当且仅当 k12=1k12，即 k1=1 时，EMN 的面积取最小值 419. （1） 由题意知 e=ca=12，2a=4又 a2=b2+c2，解得 a=2，b=3，所以椭圆的方程为 x24+y23=1（2） 当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知 AB+CD=7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y=kx1，Ax1,y1，Bx2,y2，则直线 CD 的方程为 y=1kx1将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理，得 3+4k2x28k2x+4k212=0，则 x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2123+4k2，所以 AB=k2+1x1x2=k2+1x1+x224x1x2=12k2+13+4k2，同理，CD=121k2+13+4k2=12k2+13k2+4，所以 AB+CD=12k2+13+4k2+12k2+13k2+4=84k2+123+4k23k2+4=487，解得 k=1，所以直线 AB 的方程为 xy1=0 或 x+y1=020. （1） 由题意得 e=ca=12,ab=23,a2=b2+c2, 解得 a=2,b=3, 故椭圆 E 的方程为 x24+y23=1（2） 设 Mx1,y1，Nx2,y2，D4,n，线段 MN 的中点 Px0,y0，则 2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由（1）可得 F1,0，则直线 DF 的斜率为 kDF=n041=n3当 n=0 时，直线 MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知 OD 平分线段 MN；当 n0 时，直线 MN 的斜率 kMN=3n=y1y2x1x2因为点 M，N 在椭圆 E 上，所以 x124+y123=1,x224+y223=1, 整理得 x1+x2x1x24+y1+y2y1y23=0，又 2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，所以 y0x0=n4，即直线 OP 的斜率为 kOP=n4，因为直线 OD 的斜率为 kOD=n4，所以直线 OD 平分线段 MN21. （1） 由题意有 e=ca=12,ab=23,a2=b2+c2, 解得 a=2,b=3. 所以椭圆 E 的方程为 x24+y23=1（2） 设 Mx1,y1，Nx2,y2，D4,n，线段 MN 的中点 Px0,y0，则 2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由（1）可得 F1,0，则直线 DF 的斜率为 kDF=n041=n3，当 n=0 时，直线 MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知 OD 平分线段 MN当 n0 时，直线 MN 的斜率 kMN=3n=y1y2x1x2因为点 M，N 在椭圆 E 上，所以 x124+y123=1,x224+y223=1, 整理得：x1+x2x1x24+y1+y2y1y23=0，又 2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，所以 y0x0=n4，直线 OP 的斜率为 kOP=n4，因为直线 OD 的斜率为 kOD=n4，所以直线 OD 平分线段 MN22. （1） 设动圆圆心的坐标为 x,y，由题意知 x22+y2=x2+4，化简得 y2=4x，所以动圆圆心的轨迹 H 的方程为 y2=4x（2） 当 m=1 时，E 为抛物线 y2=4x 的焦点，因为 ABCD，所以 k1k2=1设直线 AB 的方程为 y=k1x1，Ax1,y1，Bx2,y2联立 y=k1x1,y2=4x, 消去 x 并整理，得 k1y24y4k1=0，则 y1+y2=4k1，y1y2=4，x1+x2=y1+y2k1+2=4k12+2因为 Mx1+x22,y1+y22，所以 M2k12+1,2k1同理，可得 N2k12+1,2k1所以 SEMN=12EMEN=122k122+2k122k122+2k12=2k12+1k12+222+2=4, 当且仅当 k12=1k12，即 k1=1 时，EMN 的面积取最小值 4（3） 设直线 AB 的方程为 y=k1xm，Ax1,y1，Bx2,y2联立 y=k1xm,y2=4x, 消去 x 并整理，得 k1y24y4k1m=0，则 y1+y2=4k1，y1y2=4m，x1+x2=y1+y2k1+2m=4k12+2m因为 Mx1+x22,y1+y22，所以 M2k12+m,2k1同理，可得 N2k22+m,2k2，所以 kMN=k1k2k1+k2=k1k2，所以直线 MN 的方程为 y2k1=k1k2x2k12+m，即 y=k1k2xm+2，所以直线 MN 过定点 m,223. （1） 由题意可知 2b=2，b=1又椭圆 C 的顶点在圆 M 上，则 a=2，故椭圆 C 的方程为 y22+x2=1（2） 当直线 AB 的斜率不存在或为零时，AB+CD=32；当直线 AB 的斜率存在，且不为零时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2，联立 y=kx+1,y22+x2=1, 消去 y，整理得 k2+2x2+2kx1=0，则 x1+x2=2kk2+2，x1x2=1k2+2，故 AB=1+k2 x1+x224x1x2=22k2+1k2+2同理可得 CD=22k2+12k2+1，所以 AB+CD=62k2+122k2+1k2+2令 t=k2+1，则 t1，01t1，所以 AB+CD=62t22t1t+1=6221t1+1t=621t122+94，当 01t1 时，21t122+9494，所以 823AB+CD0，所以，x1+x2=4k2k2+1，x1x2=22k2+1从而 OAOB+PAPB=x1x2+y1y2+x1x2+y11y21=1+1+k2x1x2+kx1+x2+1=24k2+212k2+1=12k2+12. 所以，当 =1 时，12k2+12=3，OAOB+PAPB=3 为定值当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时 OAOB+PAPB=OCOD+PCPD=2=3，故存在常数 =1综上可知，存在常数 =1，使得 OAOB+PAPB 为定值 326. （1） 由题意得 ca=32,12ab=1,a2=b2+c2, 解得 a=2，b=1所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1（2） （方法 1）由（1），知 A2,0，B0,1设 Px0,y0，则 x02+4y02=4当 x00 时，直线 PA 的方程为 y=y0x02x2令 x=0，则 yM=2y0x02，从而 BM=1yM=1+2y0x02直线 PB 的方程为 y=y01x0x+1令 y=0，得 xN=x0y01，从而 AN=2xN=2+x0y01所以 ANBM=2+x0y011+2y0x02=x02+4y02+4x0y04x08y0+4x0y0x02y0+2=4x0y04x08y0+8x0y0x02y0+2=4. 当 x0=0 时，y0=1，BM=2，AN=2，所以 ANBM=4综上，ANBM 为定值（方法 2）点 P 在曲线 x22+y12=1 上，不妨设 P2cos,sin，当 k 且 k+2（kZ），直线 AP 的方程为 y0=sin2cos1x2，令 x=0，得 yM=sin1cos，直线 BP 的方程为 y1=sin12cosx0，令 y=0，得 xN=2cos1sin，所以 ANBM=21cos1sin1sin1cos=221sin1cos1sin1cos=22=4（定值）当 =k 或 =k+2（kZ）时，M，N 是定点，易得 ANBM=4综上 ANBM=427. （1） 设 F1 为椭圆的左焦点，连接 F1B，由椭圆的对称性可知，AF=F1B，所以 AF+BF=BF1+BF=2a=8，所以 a=4，又 e=32=ca，a2=b2+c2，解得 c=23，b=2，所以椭圆的标准方程为 x216+y24=1（2） 设点 Ax1,y1，Bx2,y2，则 QA=x13,y1，QB=x23,y2，联立 x216+y24=1,y=kx, 得 4k2+1x216=0，所以 x1+x2=0，x1x2=164k2+1，因为 AQB 为锐角，所以 QAQB0，所以 QAQB=x13x23+y1y2=93x1+x2+x1x2+y1y2=93x1+x2+1+k2x1x2=9161+k24k2+10, 解得 k3510 或 k3510第15页（共15 页）