2023届大一轮复习 第53讲 双曲线（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第53讲 双曲线 一、选择题（共11小题）1. 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的一条渐近线方程为 y=52x，且与椭圆 x212+y23=1 有公共焦点，则 C 的方程为 A. x28y210=1B. x24y25=1C. x25y24=1D. x24y23=1 2. 设双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2=1a0,b0，过抛物线 y2=4x 的焦点和点 0,b 的直线为 l若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为 A. x24y24=1B. x2y24=1C. x24y2=1D. x2y2=1 3. 设 O 为坐标原点，直线 x=a 与双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0 的两条渐近线分别交于 D，E 两点，若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为 A. 4B. 8C. 16D. 32 4. 双曲线 x23y22=1 的焦距为 A. 5B. 5C. 25D. 1 5. 以椭圆 x24+y23=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 A. x2y23=1B. x23y2=1C. x2y22=1D. x24y23=1 6. 设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点，O 是坐标原点，过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P若 PF1=6OP，则 C 的离心率为 A. 5B. 2C. 3D. 2 7. 设 F1，F2 是双曲线 x2y224=1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3PF1=4PF2，则 PF1F2 的面积等于 A. 42B. 83C. 24D. 48 8. 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的一个焦点为 F，点 A，B 是 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若 MN=2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为 A. y=3xB. y=33xC. y=2xD. y=12x 9. 设双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若 PF1F2 的面积为 4，则 a= A. 1B. 2C. 4D. 8 10. 已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为 A. x24y212=1B. x212y24=1C. x23y29=1D. x29y23=1 11. 设 F 为双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P，Q 两点若 PQ=OF，则 C 的离心率为 A. 2B. 3C. 2D. 5 二、选择题（共1小题）12. 已知双曲线 C 过点 3,2 且渐近线为 y=33x，则下列结论正确的是 A. C 的方程为 x23y2=1B. C 的离心率为 3C. 曲线 y=ex21 经过 C 的一个焦点D. 直线 x2y1=0 与 C 有两个公共点 三、填空题（共11小题）13. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的右焦点 Fc,0 到一条渐近线的距离为 32c，则其离心率的值为 14. 已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左焦点为 F，离心率为 2若经过 F 和 P0,4 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 15. 过双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 16. （1）焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 y24x2=1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 （2）过双曲线 C:x2a2y2b2=1ab0 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A若以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线 C 的标准方程为 17. 已知双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0 的焦点为 F1，F2，且双曲线 C 上的点 P 满足 PF1PF2=0，PF1=3，PF2=4，则双曲线 C 的离心率为 18. 已知 F1，F2 是双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的两个焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点 P 在双曲线上，则双曲线的离心率是 19. （1）设双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若 F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2= （2）已知点 P 为双曲线 x216y29=1 右支上一点，点 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为 PF1F2 的内心（角平分线交于一点），若 SPMF1=SPMF2+8，则 MF1F2 的面积为 20. 设双曲线 x24y22=1 的左、 右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则 BF2+AF2 的最小值为 21. 已知 F 是双曲线 C:x2y28=1 的右焦点，P 是 C 左支上一点，A0,66，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为 22. （1）已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左焦点为 F，离心率为 2若经过 F 和 P0,4 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （2）与双曲线 x29y216=1 有共同的渐近线，且经过点 3,23 的双曲线的标准方程为 23. 已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且 PF1=4PF2，则双曲线的离心率 e 的最大值为 四、解答题（共3小题）24. 根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）虚轴长为 12，离心率为 54；（2）焦距为 26，且经过点 M0,12；（3）经过两点 P3,27 和 Q62,7 25. 一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3 的双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 交于 P，Q 两点，直线 l 与 y 轴交于点 R，且 OPOQ=3，PR=3RQ，求直线和双曲线的方程 26. 若双曲线 E:x2a2y2=1a0 的离心率等于 2，直线 y=kx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点（1）求 k 的取值范围；（2）若 AB=63，点 C 是双曲线上一点，且 OC=mOA+OB，求 k，m 的值答案1. B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为 y=52x，可知 ba=52, 根据椭圆 x212+y23=1 可知其焦点坐标为 3,0，则双曲线 C 的焦点为 3,0，所以 a2+b2=9, 根据 ，解得 a2=4，b2=5，所以双曲线 C 的方程为 x24y25=12. D【解析】由题可知，抛物线的焦点为 1,0，所以直线 l 的方程为 x+yb=1，即直线的斜率为 b，又双曲线的渐近线的方程为 y=bax，所以 b=ba，bba=1，因为 a0，b0，解得 a=1，b=1故选：D3. B【解析】因为 C：x2a2y2b2=1a0,b0，所以双曲线的渐近线方程是 y=bax，因为直线 x=a 与双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0 的两条渐近线分别交于 D，E 两点，不妨设 D 为在第一象限，E 在第四象限，联立 x=a,y=bax, 解得 x=a,y=b, 故 Da,b，联立 x=a,y=bax, 解得 x=a,y=b, 故 Ea,b，所以 ED=2b，所以 ODE 的面积为：SODE=12a2b=ab=8，因为双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0，所以其焦距为 2c=2a2+b222ab=216=8，当且仅当 a=b=22 取等号，所以 C 的焦距的最小值：8故选：B4. C【解析】由题意得 c2=3+2=5，所以 c=5，所以双曲线的焦距为 255. A【解析】设双曲线的方程为 x2a2y2b2=1a0,b0由题意得双曲线的顶点为 1,0，焦点为 2,0，所以 a=1，c=2，所以 b2=c2a2=3，所以双曲线的标准方程为 x2y23=16. C【解析】由题易知 PF2=b，OP=a过 P 向 x 轴作垂线，垂足为 E，可知 PE=abc，F2E=b2c，所以 PF12=abc2+2cb2c2=6OP2=6a2，从而可得 e=37. C【解析】双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2=10根据题意和双曲线的定义知 2=PF1PF2=43PF2PF2=13PF2，所以 PF2=6，PF1=8，所以 PF12+PF22=F1F22，所以 PF1PF2所以 SPF1F2=12PF1PF2=1268=248. B【解析】设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，可得四边形 AFBF 是矩形，所以 SABF=SABF，即 bc=8，由 x2+y2=c2,x2a2y2b2=1 可得 y=b2c，则 MN=2b2c=2，即 b2=c，所以 b=2，c=4，所以 a=c2b2=23，所以 C 的渐近线方程为 y=33x故选B9. A【解析】因为 ca=5，所以 c=5a，根据双曲线的定义可得 PF1PF2=2a， SPF1F2=12PF1PF2=4，即 PF1PF2=8，因为 F1PF2P，所以 PF12+PF22=2c2，所以 PF1PF22+2PF1PF2=4c2，即 a25a2+4=0，解得 a=110. C11. A【解析】设 PQ 与 x 轴交于点 A，由对称性可知 PQx 轴，又因为 PQ=OF=c，所以 PA=c2，所以 PA 为以 OF 为直径的圆的半径，所以 A 为圆心 OA=c2所以 Pc2,c2，又 P 点在圆 x2+y2=a2 上，所以 c24+c24=a2，即 c22=a2，所以 e2=c2a2=2，所以 e=212. A， C【解析】设双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2=1，根据条件可知 ba=33，所以方程可化为 x23b2y2b2=1，将点 3,2 代入得 b2=1，所以 a2=3，所以双曲线 C 的方程为 x23y2=1，故A对；离心率 e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B错；双曲线 C 的焦点为 2,0，2,0，将 x=2 代入得 y=e01=0，所以C对；联立 x23y2=1,x2y1=0, 整理得 y222y+2=0，则 =88=0，故只有一个公共点，故D错13. 214. x28y28=1【解析】由离心率为 2，可知 a=b，c=2a，所以 F2a,0，由题意知 kPF=4002a=42a=1，所以 2a=4，解得 a=22，所以双曲线的方程为 x28y28=115. 5+12【解析】将 x=c 代入双曲线的方程得 y2=b4a2y=b2a，则 2c=2b2a，即有 ac=b2=c2a2，由 e=ca，可得 e2e1=0，解得 e=5+12 或 e=152（舍）16. x25y220=1，x24y212=1【解析】（1）设所求双曲线的标准方程为 y24x2=0，即 x2y24=1，则有 4+=25，解得 =5，所以所求双曲线的标准方程为 x25y220=1（2）因为渐近线 y=bax 与直线 x=a 交于点 Aa,b，c=4 且 4a2+b2=4，解得 a2=4，b2=12，因此双曲线的标准方程为 x24y212=117. 5【解析】由双曲线的定义可得 2a=PF2PF1=1，所以 a=12因为 PF1PF2=0，所以 PF1PF2，所以 2c2=PF12+PF22=25，解得 c=52，所以双曲线 C 的离心率为 e=ca=518. 3+1【解析】因为 MF1 的中点 P 在双曲线上，所以 PF2PF1=2a因为 MF1F2 为正三角形，边长都是 2c，所以 3cc=2a，所以 e=ca=231=3+119. 522，10【解析】（1）如图所示因为 AF1AF2=2a，BF1BF2=2a，BF1=AF2+BF2，所以 AF2=2a，AF1=4a所以 BF1=22a，所以 BF2=22a2a因为 F1F22=BF12+BF22，所以 2c2=22a2+22a2a2，所以 e2=522（2）设内切圆的半径为 R，a=4，b=3，c=5，因为 SPMF1=SPMF2+8，所以 12PF1R=12PF2R+8，所以 12PF1PF2R=8，即 aR=8，所以 R=2，所以 SMF1F2=122cR=1020. 10【解析】由双曲线的标准方程为 x24y22=1，得 a=2，由双曲线的定义可得 AF2AF1=4，BF2BF1=4，所以 AF2AF1+BF2BF1=8因为 AF1+BF1=AB，当 AB 是双曲线的通径时，AB 最小，所以 AF2+BF2min=ABmin+8=2b2a+8=1021. 126【解析】设左焦点为 F1，PFPF1=2a=2，所以 PF=2+PF1，APF 的周长为 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1，APF 周长最小即为 AP+PF1 最小，当 A，P，F1 在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为 x3+y66=1，与 x2y28=1 联立，解得 P 点坐标为 2,26，此时 S=SAF1FSF1PF=12622. x28y28=1，x294y24=1【解析】（1）由题意得 a=b，400c=1，所以 c=4，所以 a=b=22，所以所求双曲线的方程为 x28y28=1（2）（方法 1）由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 x2a2y2b2=1，由题意，得 ba=43,32a2232b2=1, 解得 a2=94，b2=4所以双曲线的方程为 4x29y24=1（方法 2）设所求双曲线方程 x29y216=0，将点 3,23 代入得 =14，所以双曲线方程为 4x29y24=123. 53【解析】设 F1PF2=，由 PF1PF2=2a,PF1=4PF2, 得 PF1=83a,PF2=23a. 由余弦定理得 cos=17a29c28a2=17898e2因为 0,，所以 cos1,1，即 117898e21，所以 10,b0由题意知 2b=12，e=ca=54，所以 b=6，c=10，a=8所以双曲线的标准方程为 x264y236=1 或 y264x236=1（2） 因为双曲线经过点 M0,12，所以 M0,12 为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a=12又 2c=26，所以 c=13，所以 b2=c2a2=25所以双曲线的标准方程为 y2144x225=1（3） 设双曲线方程为 mx2ny2=1mn0，所以 9m28n=1,72m49n=1, 解得 m=175,n=125, 所以双曲线的标准方程为 y225x275=125. 因为 e=3，所以 b2=2a2，所以双曲线方程可化为 2x2y2=2a2设直线 l 的方程为 y=x+m，由 y=x+m,2x2y2=2a2 得 x22mxm22a2=0，所以 =4m2+4m2+2a20，所以直线 l 一定与双曲线相交设 Px1,y1，Qx2,y2，则 x1+x2=2m，x1x2=m22a2因为 PR=3RQ，xR=x1+3x24=0，所以 x1=3x2，所以 x2=m，3x22=m22a2，消去 x2，得 m2=a2又 OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+x1+mx2+m=2x1x2+mx1+x2+m2=m24a2=3, 所以 m=1，a2=1，b2=2直线 l 的方程为 y=x1，双曲线的方程为 x2y22=126. （1） 由 ca=2,a2=c21 得 a2=1,c2=2. 故双曲线 E 的方程为 x2y2=1设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 y=kx1,x2y2=1, 得 1k2x2+2kx2=0, 因为直线与双曲线右支交于 A，B 两点，所以 x1+x20,x1x20,0, 即 k1,=2k241k220, 即 k1,2k2, 所以 1k2，即 k 的取值范围是 1,2（2） 由得 x1+x2=2kk21，x1x2=2k21，所以 AB=1+k2x1+x224x1x2=21+k22k2k212=63，整理得 28k455k2+25=0，所以 k2=57 或 k2=54，又 1k2，所以 k=52，所以 x1+x2=45，y1+y2=kx1+x22=8，设 Cx3,y3，由 OC=mOA+OB 得 x3,y3=mx1+x2,y1+y2=45m,8m，因为点 C 是双曲线上一点，所以 80m264m2=1，得 m=14，故 k=52，m=14第10页（共10 页）