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2圆与圆的方程,2.1圆的标准方程,1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程.2.能根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径,并运用圆的标准方程解决简单问题.3.掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法,借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.,1.确定圆的条件一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就确定了.2.圆的标准方程(1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫作圆的圆心,定长称为圆的半径.(2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)当圆心在坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.【做一做1】圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是()A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)答案:B,【做一做2】分别求满足下列各条件的圆的方程:(1)圆心是原点,半径是3;(2)圆心为点C(3,4),半径是;(3)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3).解:(1)x2+y2=9.(2)(x-3)2+(y-4)2=5.r2=25.又圆心是点C(8,-3),圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,方法二:圆心为C(8,-3),故设圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=r2.又点P(5,1)在圆上,(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25.故所求圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程.分析:思路一:线段AB的垂直平分线与直线l的交点是圆心,则解方程组得圆心坐标,圆心到点A(或点B)的距离等于半径,可直接写出圆的标准方程;思路二:设出圆的标准方程,列方程组求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求圆的标准方程的方法包括几何法和待定系数法,由圆的几何性质易求圆心坐标和半径时,用几何法可简化运算,其他情况可用待定系数法.2.一般地,不在同一直线上的三点可以确定一个圆;三角形有唯一的外接圆和内切圆,外接圆圆心为三角形中三边垂直平分线的交点;内切圆圆心为三条角平分线的交点.已知圆心所在直线及圆上两点,则两点连线的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】ABC的三个顶点分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求其外接圆的方程.分析:方法一:三角形两边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心,由此确定任意两边的垂直平分线的方程,联立方程组得到圆心并可计算出半径.方法二:设出圆的标准方程,代入三点坐标,得关于a,b,r的方程组.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】求以点C(3,-5)为圆心,6为半径的圆的方程,并判断点P1(4,-3),P2(3,1),P3(-3,-4)与这个圆的位置关系.分析:根据圆心坐标和半径可得圆的标准方程.判断点在圆上、圆外、圆内的方法是:根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思点与圆的位置关系的判断方法:(1)几何法:比较圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小;(2)代数法:直接利用下面的不等式判定.(x0-a)2+(y0-b)2r2,点(x0,y0)在圆外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点(x0,y0)在圆上;(x0-a)2+(y0-b)2r2,点(x0,y0)在圆内.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在此圆上,在此圆内,还是在此圆外?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱CD的高度(精确到0.01m).分析:根据题目中的已知条件,求出圆的标准方程,然后求出图中点C的坐标,则点C的纵坐标就是所求.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:以AB所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为点P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足圆的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思通过建立坐标系,把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间图形与代数运算的结合,是解决几何问题的重要方法.要特别注意选择适当的坐标系,可以使解题过程简化.在通常情况下,使图形中某些线段在坐标轴上,线段的端点或中点在原点,遇到图形中有两条互相垂直的线段,常常选这两条线段所在的直线为坐标轴;遇到轴对称图形,常常选它的对称轴为坐标轴;遇到中心对称图形,常常选它的对称中心为原点.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】如图所示,一座圆拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为多少?(精确到0.01m),题型一,题型二,题型三,题型四,解:以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标(6,-2)代入方程得36+(r-2)2=r2,r=10.圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】圆心在直线2x-y=3上,且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.解析:设圆心的坐标C为(a,b),则|a|=|b|,圆心在直线2x-y=3上,当a=b时,代入直线方程得a=b=3,此时圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=9;当a=-b时,同理得a=1,b=-1,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1.答案:(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1,12345,答案:B,12345,答案:B,12345,3.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.点P在圆外B.点P在圆内C.点P在圆上D.不确定解析:(m-0)2+(5-0)2=m2+2524,点P在圆外.答案:A,12345,4已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为.答案:(x-2)2+y2=10,12345,
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