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1.1.2余弦定理余弦定理（1）b20，A60，a203，求B;（2）b20，A60，a15，求B.60ABCb 在ABC中，已知b20，A60，思考：当b20，A60，a？时，有1解、2解、无解.（1）b20，A60，a203sinB ，b sinA a12B30或150，15060 180，B150应舍去.（2）b20，A60，a15.233 1，无解.sinB ，b sinA a233 思考：当b20，A60，a？时，求角B 有1解、2解、无解.600ABC20BBB解:过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600,BD=34cos600,AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(34 cos600)2 =42+32234cos600 AB=13已知已知C=600,AC=4,BC=3,求求AB.ABCD猜想：猜想：AB=AC+BC2ACBCcosC对任意三角形是否成立？对任意三角形是否成立？证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.CabbacaCabbCBCCBACACCBCBACACCBACCBACABABCBACABcos2cos2)180cos(22)()(2222220222即ABCC点的坐标为点的坐标为()AbAbsin,cosxyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系A)sin,cos(AbAba(0,0)由两点距离公式知：AcbbcaaBCAbAbcBCcos2)sin0()cos(22222a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦的积的两倍。cosA=cosB=cosC=abcba2222acbcabcacb22222222余弦定理推论：余弦定理推论：（1）若）若A为直角，则为直角，则a=b+c（2）若）若A为锐角，则为锐角，则ab+c由由a2=b2+c22bccosA可得可得AaBCbcAcbAbc利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。例.已知b=8,c=3,A=600求a.a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 解：a=7变式练习：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.例例3：在：在ABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理，解：根据余弦定理，a=b+c2bccosA=60+3426034 cos411676.82所以所以 a41(cm)由正弦定理得，由正弦定理得，.5440.041656.0344141sin34sinsinaAcC因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得是锐角，利用计算器得C33B=180（A+C）=180（4133）106例例4，在，在ABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三解三角形（角度精确到角形（角度精确到1）。）。解：由余弦定理的推论得：解：由余弦定理的推论得：,5543.07.1618.8726.1347.1618.872cos222222bcacbAA5620;,8398.07.1616.13428.877.1616.1342cos222222cabacBB3253C=180（A+B）180（5620 3253）9047四类解三角形问题：四类解三角形问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；两个角；（4）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连续自然数，求该三角形的三边长。续自然数，求该三角形的三边长。必做题：等腰三角形的底边长为必做题：等腰三角形的底边长为a，腰长，腰长为为2a,求腰上的中线长。求腰上的中线长。（2）若）若A,B,C是是ABCABC的三个内角，则的三个内角，则sinA+sinB_sinC.sinA+sinB_sinC.)(sin3sin,2)3(等于则中，在BBBCABCA.b/a B.a/b C.a/c D.c/a（1）若三角形的三个角的比是）若三角形的三个角的比是1：2：3，最，最大的边是大的边是20，则最小的边是，则最小的边是_.二二.三种证明方法的比较：三种证明方法的比较：几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三 角形求证（化一般为特殊）角形求证（化一般为特殊）解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方 法解决（几何问题代数化）法解决（几何问题代数化）向量法：通过向量的知识来证明。向量法：通过向量的知识来证明。一、余弦定理：一、余弦定理：作业：习题作业：习题6、9
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