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2021/6/31 1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.一一.习题习题1 1（第（第1010页）页）解解 绝对误差限分别为:1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104.相对误差限分别为:r1=0.510-3/5.420=0.00923%,r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.有效数位分别为:4位,4位,3位,4位,1位.1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字.a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解解 有效数位分别为:3位,1位,0位.2021/6/32 1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?解解 因为101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n,于是有 r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01%因此只需n=5.即取101/2=3.1623 解解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863 1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有效数字 ).982.27783(2021/6/33 2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组 解解 二二.习题习题2 (第第50页页)6745150710623321xxx65157071046235.255.201.661.0070710消元1.661.005.255.207071032rr回代得解:x3=1,x2=-1,x1=0651546237071021rr2.62.6005.255.2070710消元2021/6/34 2-3(1).对矩阵A A进行LULU分解,并求解方程组Ax=bAx=b,其中 解解 564,221231112bA ，所以221231112A1122121112212325211125321232521112535321232521112532325532121112111A5332132153212144564111yyyyyy，得解1114411232153321532325xxxxxx，得再解2021/6/35 2-4.对矩阵A A进行LDMLDM分解和Crout分解，其中 解解 15156654212A15156654212A64264122112634122112634123221112634123221111111263423221A分解：故得Crout11111321431213221ALDM分解为：2021/6/36 2-5.对矩阵A A进行LDLLDLT T分解和GGGGT分解，并求解方程组Ax=bAx=b，其中 解解 ,22484548416A22484548416A2121432321214332321214332214332214A分解：故得TGG1119416111232141232141ALDLT分解为：321b2021/6/377083.1875.025.0321332214321321yyyyyy，得解5694.02916.15451.07083.1875.025.0332214321321xxxxxx，得再解 2-6(1).给定方程组 21102yxyx a.用Cramer法则求其精确解.b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).解解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法2021/6/3821102yxyx 2-8.用追赶法求解方程组:回代得解:y=1,x=0.1102yx1001001102yyx 再用列主元Gauss消元法21102yxyx12yyx2yx回代得解:y=1,x=1.200000100411411411411454321xxxxx2021/6/39 解解411411411411414144111441541114154415411114155615441541111456151556154415411111456209561515561544154111114209565620956151556154415412097802095656209561515561544154111114718.5347847.07857.16667.625200000100111145432154321209780562091556415yyyyyyyyyy，得解2021/6/310718.53872.147693.52052.8051.27,718.5347847.07857.16667.62511111543215432120956561515441xxxxxxxxxx得再解 2-10.证明下列不等式:(1)x-yx-z+z-y;(2)|x-y|x-y;证明证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2)因为 x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y,同理可证 y-xx-y 于是有|x-y|x-y.2021/6/311 2-11.设为一向量范数,P P为非奇异矩阵,定义x xp=PxPx,证明x xp 也是一种向量范数.证明证明 (1)x xp=PxPx0,而且PxPx=0PxPx=0 0 x x=0 0 (3)x x+y yp=P P(x+yx+y)=Px+PyPx+PyPxPx+PyPy=x xp+y yp (2)x xp=P P(x x)=PxPx=|PxPx=|x xp所以x xp是一种向量范数.2-12.设A为对称正定矩阵,定义x xA=AxxT ,证明A是一种向量范数.证明证明 由Cholesky分解有A=GGA=GGT T,所以x xA)()(xGxGTTT=GTx2,由上题结果知x xA是一向量范数.2021/6/312 2-16.对任意矩阵范数,求证:证明证明 (1)因为A A=AEAEA AE E,所以E E1.(2)1E E=AAAA-1-1A AA A-1-1,故 2-17.证明:(1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值.证明证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A A2A A-1-12=1.(2)A对称正定,ATA=A2,A A2=1.A A-1-12=1/n.BABABAAAE11111)3(1)2(1)1(.11AA (3)A A-1-1-B-B-1-1=A A-1-1(B-A)B(B-A)B-1-1A A-1-1B B-1-1A-BA-B2021/6/313三三.习题习题3(第第75页页)3-2.讨论求解方程组Ax=bAx=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中122111221)2(211111112)1(AA 解解 (1)J迭代法的迭代矩阵为,0101021212121U)(LDB1得(2+5/4)=0,i25011|21212121BE令 即1=0,2=,3=,i25 故(B)=25 所以J迭代法不收敛.2021/6/314212121212110000)(ULDG (2)类似可得(B B)=0,(G G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.所以,(G G)=1/2,故G-S迭代法收敛.G-S G-S迭代法的迭代矩阵为:0001001102110110021212121212100000001001100010021212121021112或由 ,得(2+1)2=0,故(G)=1/2.2021/6/315 3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组301532128243220321321321xxxxxxxxxJ迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T,x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差x x(k)(k)-x-x*10-6.解解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为,000511528181203101U)(LDB18001120019160178012031011000)(ULDGG-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T,x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2.11 B B=1/3=0.33333,G G=1/4=0.252021/6/316易得:(B B)=|,(G G)=2.故当|1,(G G)=31.2021/6/319 3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.000121001210012100124321xxxx 解解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当00,(1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0,x0,1,所以方程在0,1内仅有一个根.可见,需要计算14步.由于4111021212kkkabx ,所以k4/log2=13.29 4-3.比较使用下述方法求方程ex+10 x-2=0的正根，准确到三位小数所需要的计算量:(1)在区间0,1内用二分法;(2)用迭代法10/)2(1kxkex ,取x0=0.2021/6/322 解解 (1)(1)由 (2)迭代法的迭代函数为(x)=(2-ex)/10,|(x)|=ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由 k3/log2=9.97,所以需要计算10步.3111021212kkkabx ,可得所以,只需迭代5步.可得 30110211xxLLxkk31.4ln2001lnLLk若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次.4-4.设(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k=0,1,2,均收敛于方程x=(x)的根.2021/6/323 证明证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需证明迭代式在区间-1,1收敛.因为(x)=cosx连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是区间-1,1上的压缩映射,因此结论成立.这里迭代函数(x)=解解 记(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50,所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式 4-5.4-5.验证区间0,2是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由.,2,1,0,2531kxxkk325x ,由于 2021/6/324 01(x)所以(x)是区间0,2上的压缩映射,故迭代式收敛.证明证明 这里(x)=x-(x),由于对任意(0,2/M)均收敛于(x)=0的根.4-7.4-7.给定函数(x),设对一切x,(x)存在且0m(x)M,证明对任意(0,2/M),迭代式,2,1,0,)(1kxfxxkkk35 2,x0,2 且|(x)|=32)25(32x 2/31,x0,2 -1=1-2(x)=1-(x)1所以|()|1,试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分别导出求na 的迭代公式,并求 21)/()(limknknkxaxaC2021/6/327由于 解解 迭代格式分别为 所以对(1)有,2,1,01)1(11knxaxnnxnkkk 4-13.4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0,1,2,是求a,2,1,0)1()2(1kaxnnxxnkkk)(2)()(lim21ffxxkkk nnC21 ,对(2)有.21nnC 证明证明 设 的三阶方法.kkxlim ,则有:=(2+3a)/(32+a)故 2=a,即axkklim2021/6/328又由于 所以有axaxaaxxaxkkkkk22213)3()3(因此是三阶方法.axaxaaxxkkkk23233)33axaxkk233)(aaxaxaxkkkkk4131lim)(lim2312021/6/329五五.习题习题5(第第131页页)5-1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值.解解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互独立的,因此,三个特征值分别为;(2)三个圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此,1,2,落在前两个圆盘的连通区域内,7311.0.811.2,1.622.4,2.733.3 5-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中902120114)2(31.02.04.0201.01.01)1(2021/6/330 解解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为:v v(k)=AuAu(k-1)31815108109A k=max(v v(k)u u(k)=v v(k)/k,k=1,2,.取初值u u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:取17=19.301 2021/6/331 解解 用反幂法求A A的按模最小特征值,计算公式为:AvAv(k)=u u(k-1)k=max(v v(k)u u(k)=v v(k)/k,k=1,2,.取初值u u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:取n1/15=4.8686 2021/6/332 5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值.解解 作位移矩阵B=A-7EB=A-7E,建立计算公式:720101350144PA BvBv(k)=u u(k-1)k=max(v v(k)u u(k)=v v(k)/k,k=1,2,.取初值u u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:取7+1/7=6 2021/6/333 5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中 解解 记421242124A取p=1，q=2，则有 cos=(1+t2)-1/2=0.7071,sin=tcos0.7071 421242124)0(A,02)0(12)0(22)0(11aaa1t10007071.07071.007071.07071.01000cossin0sincos)(pqRR12021/6/334类似地有470711.012132.270711.02012132.2061)0(1)1(RARTA65479.259716.0059716.0237868.0037868.034521.7)2(A00841.3019295.0064638.132583.019295.032583.034521.7)3(A00841.301098.019264.001098.062781.1019264.0036378.7)4(A99991.201097.0001097.062781.100048.0000048.037228.7)5(A所以取 17.37228,22.99991,31.62781 5-10.设矩阵H=E-2xxH=E-2xxT T,向量x x满足x xT Tx x=1,证明:(1)H为对称矩阵,即H HT T=H=H;(2)H为正交矩阵,即H HT TH=EH=E;(3)H为对合矩阵,即H H2 2=E=E.2021/6/335 证明证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称.6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).(2)因为H HT TH=(E-2xxH=(E-2xxT T)T T(E-2xx(E-2xxT T)=E-4xx)=E-4xxT T+4xx+4xxT TxxxxT T=E=E,故H H正定.(3)由(1)和(2)即得,H H是对合矩阵.六六.习题习题6(第第180页页)解法一解法一.基函数法:p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x)2)(1(61)()()(2101201xxxxxxxxxxxl)1)(1(31)()()(1202102xxxxxxxxxxxl2021/6/336 6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求 解法二解法二.待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x)1)(1(34)2)(1(21xxxx)1(8)2(3)1(61xxx)145)(1(61xx 2(a-b)=-3,2a+b=4 ,解得,a=5/6,b=7/3,所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14).)(max230 xlxxx2021/6/337 6-3.设l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证:解解 )()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxl 证明(1)记(x)=xk,则yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是)3)(1(21max)(max30230tttxltxxx30)3)(1(21)(0ttttthxx令271077374时）（t.,1,0,)()1(0nkxxlxkjnjkj.,1,0,0)()()2(0nkxlxxjnjkj2021/6/338 6-4.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明)()!1()()()(10)1(xnfxlyxfxnnjxnjjk 证明证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故njjkjxlx0)(2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是)()!1()()()()(10)1(tnftlytfxtnnjtnjjknjjkjtlxx0)()(取t=x,则有njjkjxlxx00)()(bxaMabxf,)(81)(22其中,.)(max2xfMbxa|(x)|=|(x)-L1(x)|22)(81)(2)(Mabbxaxfx 2021/6/339 6-5.利用y=x115 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较.解解 由二次Lagrange插值得:在x=100,121,144点的函数值,用插值方法求722756.1012)121144)(100144()121115)(100115(11)144121)(100121()144115)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(1152 L144100,108383525 xxy3521063125.1)144115)(121115)(100115(1083!31)115(115 L 实际误差：3210049294.1)115(115 L2021/6/340 6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20,21,26.解解 20,21,25=1!5)()5(f 20,21,26=0 6-9.设(x)=x5+x3+1,取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5,x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差.解解 差商表为 2021/6/341Newton插值多项式为:|R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|6-10.设(x)=x4+2x3+5,在区间-3,2上,对节点x0=-3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在每个小区间xi,xi+1上的表达式及误差公式.解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8)+2.79(x+1)(x+0.8)x 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 0(x)=(x+1)2(x+4)/42021/6/342同理可得:0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=-(x+3)2x/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1)=-6x3-22x2-24x-4所以有误差为 R(x)=(x+3)2(x+1)2类似地,在区间-1,1上有 H3(x)=2x3+2x2+4 R(x)=(x+1)2(x-1)22021/6/343 H3(x)=写到一起就是 R(x)=在区间1,2上有 H3(x)=8x3-13x2+12x+1 R(x)=(x-1)2(x-2)2 -6x3-22x2-24x-4 ,-3x-1 2x3+2x2+4 ,-1x1 8x3-13x2+12x+1 ,1x2 (x+3)2(x+1)2 ,-3x-1 (x+1)2(x-1)2 ,-1x1 (x-1)2(x-2)2 ,1x2 6-12.确定a，b，c使函数31)1()1()1(10)(23213xcxbxaxxxxS2021/6/344是一个三次样条函数。解解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c,得 c=1所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数.6-13.确定a，b，c,d,使函数3110)(3232xdxcxbxaxxxxS 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a,得 a=3是一个三次样条函数,且S(2)=12.解解 由已知可得:a+b+c+d=2,b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12,解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.2021/6/345 6-19.给出函数表 解解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T,1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.则得正则方程组:6a+0.5b=13.52 试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差.0.5a+2.875b=7.055 解得:092353.2078971.2ba所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x最佳均方误差为:*2=0.386592)(iiybxa2021/6/346 二次拟合,即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T,1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T，=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.则得正则方程组:6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次拟合曲线为:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.最佳均方误差为:*2=0.06943.22)(iiiycbxa 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 6-20.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差.2021/6/347 解解 这里基函数为0(x)=1,1(x)=x2,构造向量 0=(1,1,1,1,1)T,1=(361,625,961,1089,1936)T,=(19,32.2,49,73.3,97.8)T.则得正则方程组:5a+4972b=271.3 4972a+6378484b=343237.5 解得:a=3.33339,b=0.051213.所求拟合曲线为:y=3.33339+0.051213x2.最佳均方误差为:*2=15.9329922)(iiybxa 6-22.用最小二乘法求下列方程组的近似解:2021/6/348 解解 记G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2 就是求G(x,y)的最小值,令解得:x=2.977413,y=1.2258731424623531142yxyxyxyx,0186660yxxG0138986yxyG2021/6/349 7-1.建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式.七七.习题习题7(第第213页页)解法解法.右矩形公式为：由于(x)-(a)=(x)(x-a),(x)-(b)=(x)(x-b)()(abbfdxxfba 左矩形公式为：)()(abafdxxfba所以有 ),()(2)()()()()(2bafabdxbxfabbfdxxffRbaxba),()(2)()()()()(2bafabdxaxfabafdxxffRbaxba2021/6/350 7-2.说明中矩形公式的几何意义,并证明 证明证明 由Taylor展开式有),()(24)()2()()(3bafabbafabdxxfba 所以有 3)(24)()(2()(abfabbafdxxfba 2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxfx 7-3.若(x)0,证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值大,说明几何意义.证明证明 因为(x)0,所以y=(x)是凹函数,故结论成立.2021/6/351 7-5.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？)()0()()()1(101hfAfAhfAdxxfhh 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3.A-1+A0+A1=2h -hA-1+hA1=0 h2A-1+h2A1=2h3/3求积公式为:)()0(4)(3)(hffhfhdxxfhh (x)=x3时,左=右=0,公式也精确成立 (x)=x4时,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立所以公式的代数精确为3.2021/6/352)(3)(2)1()()2(213111xfxffdxxf 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得:2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求积公式为:(x)=x3时,公式都不精确成立,故代数精度为2.126599.0689899.021xx526599.0289899.021xx或)126599.0(3)689899.0(2)1(31)(11fffdxxf)526599.0(3)289899.0(2)1(31)(11fffdxxf或)()0()()0(2)()3(20hffhhffhdxxfh 解解 当(x)=1时,左=h，右=h，对所有都成立。2021/6/353 (x)=x时有左=右=h2/2，对所有都成立。故公式的代数精度为3.)()()5(00112xfAdxxfx)()0(12)()0(2)(20hffhhffhdxxfh 解解 令公式对(x)=1,x精确成立,则有 (x)=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,则有 (x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精确成立.(x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精确成立.A0=2/3 A0 x0=0 解得A0=2/3,x0=0.所以公式为)0(32)(112fdxxfx ,其代数精度为1.2021/6/354 7-7.设 解解 因为|(lnx)|=1/x21,|(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260 导出两点Gauss型求积公式.若取=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化Simpson公式Sn的截断误差满足:|I-Tn|,及|I-Sn|,并计算Sn.,ln21xdxI,1012132n要|I-Sn|1.201,故取n=2.7-10.对积分10,)(1lndxxfx 解解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交多项式为:P0(x)=1,p1(x)=x-1/4,p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0，解出Gauss点为：2021/6/355 再令公式对(x)=1,x精确成立,可得 A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4,由此解出所以两点Gauss型求积公式为:1064921,106492121AA 7-11.用两点Gauss型求积公式计算下列积分的近似值.)4210615()1094921()4210615()1094921()(1ln10ffdxxfx 解解 两点Gauss-Legendre求积公式为:,42106151x42106152xdxx11221cos1)1()577350.0()577350.0()(11ffdxxf2021/6/356所以有 解解 两点Gauss-Laguerre求积公式为:A1=0.8535533905,A2=0.1464466094,611151.1cos111221dxxdxxx0sin)2(其中,)()()(2211021xfeAxfeAdxxfxx x1=0.5858864376,x2=3.4142135623,所以有096221.1sin0dxxxdxxex02)3(2021/6/357所以有 解解 两点Gauss-Laguerre求积公式为:A1=A2=0.0.8862269254,-x1=x2=0.7071067811 ）同（2,)()()(212122110 xxAAxfAxfAdxxfex所以有000102.202dxxexdxxex21)4(2 解解 两点Gauss-Hermit求积公式为:其中,)()()(22112xfAxfAdxxfex170804.2122dxxex 7-12.证明下列数值微分公式：2021/6/358其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。(x)=(x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2)(3)()(4)(321)()1(22100fhxfxfxfhxf (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0)(12)()(2)(1)()2()4(221021fhxfxfxfhxf (2)(x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x)(3)2()0(3)(461)0()3(2fhhffhfhf 证明证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为:+(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x)(x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/32021/6/359 容易证明(x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 对(x)取次数不超过3次的多项式精确成立.构造三次多项式p3(x)使p3(x0)=(x0),p3(x1)=(x1),p3(x2)=(x2),p3(x1)=(x1),则有 (x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是有 R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12所以 (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)()(3)以x0=-h,x1=0,x2=2h为节点的二次Lagrange插值为:(x)=2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2 +(x)x(x+h)(x-2h)/6 2021/6/360 (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+R2(0)(x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x)(0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3八八.习题习题8(第第250页页)8-5.用梯形方法和四阶标准R-K方法求解初值问题 y+y=0，00,证明如下方法的绝对稳定性条件 证明证明 (1)改进Euler公式为：(1)改进Euler方法:(2)四阶标准R-K方法:112221hh1144!4133!3122!21hhhh)(21nnnnnyhyyhyynyhh)1(2221故改进Euler方法的绝对稳定条件为 .112221hh (1)四阶标准R-K公式为：2021/6/3671!41!31!211443322hhhh)2(2()2(2(2)2(2(61nnnnnnnnnnnnyhyhyhyyhyhyyhyyhyynyhhhh)!41!31!211(443322故四阶标准R-K方法的绝对稳定条件为 的局部截断误差主项和阶.8-12.确定两步方法)34(4)(211111nnnnnnfffhyyy 解解 )()(!3)(2)()()(43211kOxyhxyhxyhxyxyynnnnnn 2021/6/368)()(2)()()(3211hOxyhxyhxyxyfnnnnn 所以有 又因为 )()(2419)(2)()(4321hOxyhxyhxyhxyynnnnn 所以 )(nnxyf)()(2)()()(3211hOxyhxyhxyxyfnnnnn )()(!3)(2)()()(4321hOxyhxyhxyhxyxynnnnn )()(85)(4311hOxyhyxynnn 因此,公式的局部截断误差主项为 )(853nxyh 公式为二阶方法.2021/6/369 8-13.试求系数,0,1,使两步方法的局部截断误差阶尽可能的高,并写出局部截断误差主项.)()(11011nnnnnffhyyy 解解 )()(!3)(2)()()(43211kOxyhxyhxyhxyxyynnnnnn )()(2)()()(3211hOxyhxyhxyxyfnnnnn )(nnxyf所以有 )()(!3)3()(2)2()()()(243121101hOxyhxyhxyhxyynnnnn 当=1/2,1=-1/4,0=7/4时阶最高,为二阶方法.截断误差的主项为 ).(833nxyh 2021/6/370 8-15.对微分方程y=(x,y)沿区间xn-1,xn+1积分得 解解 Simpson求积公式为试用Simpson求积公式近似右边积分,导出Milne-Simpson差分公式,并说明方法的阶.所以差分公式 易见,此公式是四阶方法.11)(,()()(11nnxxnndxxyxfxfxy)(90)()(4)(3)(,()5(51111yhxfxfxfhdxxyxfnnxxnnn)4(31111nnnnnfffhyy2021/6/371设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根;(2)构造一种收敛的迭代格式xk=(xk),k=0,1,2,计算精度为=10-2的近似根;(3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.解解(1)因为0 x1时,(x)0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.(2)构造迭代格式:由于|(x)|=|1,故此迭代法收敛.xxsin12/cos,.2,1,0sin11kxxkk 课堂练习课堂练习2021/6/372 取初值x0=1.5,计算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2,故可取根的近似值x2=1.40983.0sin12/cos (3)因为0/2,所以()故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).2021/6/373课间休息课间休息部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
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