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第二章有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级上册,例1计算:(1)(+5)+(+7);(2)(-3)+(-8);(3)(-7)+(+5);(4)(-3)+(+8);(5)(-7)+(+7);(6)0+(-4).,解析(1)(+5)+(+7)=+(|+5|+|+7|)=12.(2)(-3)+(-8)=-(|-3|+|-8|)=-11.(3)(-7)+(+5)=-(|-7|-|+5|)=-2.(4)(-3)+(+8)=+(|+8|-|-3|)=5.(5)(-7)+(+7)=0.(6)0+(-4)=-4.,知识点二有理数加法的运算律加法运算律,例2给下面的计算过程标明理由.(+16)+(-22)+(+34)+(-78)=(+16)+(+34)+(-22)+(-78)=(+16)+(+34)+(-22)+(-78)=(+50)+(-100)=-50.;.,解析第步,交换了加数的位置;第步,将符号相同的两个数结合在一起;第步,利用了有理数加法法则;第步,同样利用了有理数加法法则.,答案加法交换律加法结合律有理数加法法则有理数加法法则,题型一运用加法运算律进行化简例1用简便方法计算:(1)-4.7+(+2.6)+(-3.3)+(+3.4);(2)+0+;(3)+|-2.25|+.分析第(1)小题可以先把同号的数结合相加;第(2)小题可以先把同分母的数结合相加;第(3)小题可以先把小数化为分数,或把分数化为小数,再把同号的数结合在一起相加.,解析(1)原式=(-4.7)+(-3.3)+(+2.6)+(+3.4)=(-8)+6=-2.(2)原式=+=(-1)+1=0.(3)原式=(-3.5)+4.75+2.25+(-2.5)=(-3.5)+(-2.5)+(4.75+2.25)=(-6)+7=1.,题型二运用有理数的加法解决实际问题例2某出租汽车下午从停车场出发,沿着东西走向的大街进行汽车运营,截至晚上6时,行驶记录如下(规定向东为正,向西为负,单位:km):+10,-3,+4,+2,+8,+5,-2,-8,+12,-5,-7.(1)到晚上6时,出租汽车在什么位置?(2)若出租汽车每千米耗油0.06L,则下午从停车场出发到晚上6时,出租汽车共耗油多少L?分析(1)将这11个数相加,若和为正数,则说明出租汽车在停车场的东边;若和为负数,则说明出租汽车在停车场的西边;若和为零,则说明出租汽车与停车场位置相同.(2)要求出租汽车总的耗油量,需求出从下午出发到晚上6时,出租汽车一共走的路程,即各数的绝对值的和.,解析(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(+8)+(+5)+(-2)+(-8)+(+12)+(-5)+(-7)=(+10+4+2+8+5+12)+(-3)+(-2)+(-8)+(-5)+(-7)=(+41)+(-25)=16(km).答:到晚上6时,出租汽车在停车场正东方向16km处.(2)|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|-2|+|-8|+|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7=66(km).660.06=3.96(L).答:下午从停车场出发到晚上6时,出租汽车共耗油3.96L.点拨(1)利用有理数加法解决实际问题,其关键是建立有理数加法模型,从而把实际问题转化为有理数加法问题,通过加法计算,使问题得到解决.利用运算律可以简化运算.(2)要求汽车的耗油量,必须先求出出租汽车一共走的路程.,易错点计算时,带分数拆分错误例计算:+.错解+=+=(+12)+(-27)+=-15+1=-14.正解+=(+12)+(-27)+=(+12)+(-27)+,=-15+=-14.错因分析注意带分数是负数时,拆分的整数与分数均为负数.-27-27+,应是-27=-=-27-.,知识点一有理数的加法法则1.下列计算错误的是()A.+0.5=-1B.(-2)+(-2)=4C.(-71)+0=-71D.(-1.5)+=-4,答案B根据加法法则得(-2)+(-2)=-(2+2)=-4.,2.(2016重庆巴南月考)-3的绝对值与5的相反数的和是()A.2B.-2C.8D.-8,答案B5的相反数是-5,-3的绝对值是3,|-3|+(-5)=3+(-5)=-2.,3.下列说法中,正确的是()A.两个有理数相加,符号不变,绝对值相加B.两个有理数的和一定大于任意一个加数C.-7+(-5)=-(7-5)=-2D.两个负数相加,和取负号,并把它们的绝对值相加,答案D绝对值不相等的异号两数相加时,和的符号取绝对值较大的加数的符号,故A错;两个负数相加,和小于任意一个加数,故B错;-7+(-5)=-(7+5)=-12,故C错;D对,故选D.,4.在数5、-2、7、-6中,任意三个不同的数相加,其中最小的和是()A.10B.6C.-3D.-1,答案C因为75-2-6,且三个较小的数相加和最小,所以最小的和是5+(-2)+(-6)=-3.,5.计算:(1)(-34)+(+56);(2)(-5.5)+(-3.5);(3)+;(4)+2.,解析(1)(-34)+(+56)=+(56-34)=22.(2)(-5.5)+(-3.5)=-(5.5+3.5)=-9.(3)+=-=-.(4)+2=-=-.,知识点二有理数加法的运算律6.7+(-3)+(-4)+18+(-11)=(7+18)+(-3)+(-4)+(-11)是应用了()A.加法交换律B.加法结合律C.分配律D.加法交换律与结合律,答案D本题先是交换加数的位置,再运用加法结合律把同号的加数结合在一起.,7.利用加法运算律运算.(1)(-5)+3+(+5)+(-2);(2)(-2.78)+(-4.05)+6.17+(-5.43)+2.14;(3)+;(4)+(-0.5)+;(5)4.5+(-2.5)+9+2.,解析(1)(-5)+3+(+5)+(-2)=(-5)+(+5)+3+(-2)=1.(2)原式=(-2.78)+(-4.05)+(-5.43)+(6.17+2.14)=-12.26+8.31=-3.95.(3)原式=(+28)+(-17)+=(+28)+(-17)+=11+=10.,(4)+(-0.5)+=+=-4+2=-2.(5)4.5+(-2.5)+9+2=4.5+(-2.5)+=2+(-4)=-2.,1.一个数是23,另一个数比23的相反数大5,则这两个数的和是()A.5B.-5C.0D.23,答案A由题意得两个数的和是23+(-23)+5=5.,2.如果a、b是有理数,则下列说法成立的是()A.如果a0B.如果a0,b0C.如果a0,b0,且|a|b|,那么a+b0,答案D绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,故只有在明确绝对值大小关系的前提下,才能确定和的符号,故选D.,3.计算:(-9)+5=,+=,+(-0.75)=.,答案-4;0,解析直接根据加法法则计算.,4.某服装厂上半年各月的盈亏情况如下:盈利1285万元、亏损140万元、亏损955万元、盈利140万元、盈利168万元、盈利122万元,则该服装厂上半年盈利万元.,答案620,解析将盈利记为正,亏损记为负,则该服装厂上半年盈利为1285+(-140)+(-955)+140+168+122=(1285+168+122)+(-140)+140+(-955)=1575+(-955)=620(万元).,1.如果|a+b|=|a|+|b|,那么()A.a、b同号B.a、b为一切有理数C.a、b异号D.a、b同号或a、b中至少有一个为0,答案D因为|a+b|=|a|+|b|,所以根据加法法则,可知a与b同号或a、b中至少有一个为0,故选D.,2.若m、n互为相反数,则m+8+n=;已知a+c=-2016,b+(-d)=2017,则a+b+c+(-d)=.,答案8;1,解析因为m、n互为相反数,所以m+n=0,所以m+8+n=(m+n)+8=0+8=8.因为a+c=-2016,b+(-d)=2017,所以a+b+c+(-d)=(a+c)+b+(-d)=(-2016)+2017=1.,3.用简便方法计算:(1)0.125+(-0.25);(2)+(-3.36)+;(3)(+1)+(-2)+(+99)+(-100).,解析(1)原式=+=-3+3=.(2)原式=+(-3.36)+(+7.36)=1+4=5.(3)原式=(+1)+(-2)+(+99)+(-100)=(-1)+(-1)+(-1)=-50.,4.某仓库存储钢材,5天内进出钢材的吨数如下(“+”表示进库,“-”表示出库):+20、-25、-13、+28、-16.(1)经过这5天,仓库里的钢材增加或减少了多少吨?(2)如果进出仓库的钢材装卸费都是每吨15元,那么这5天要付多少元装卸费?,解析(1)(+20)+(-25)+(-13)+(+28)+(-16)=(20+28)+(-25)+(-13)+(-16)=48+(-54)=-6(吨).所以经过这5天,仓库里的钢材减少了6吨.(2)(|+20|+|-25|+|-13|+|+28|+|-16|)15=10215=1530(元).答:这5天要付1530元装卸费.,1.计算3+5+时,用运算律最为恰当的是()A.+B.+C.+D.+,答案B把分母相同的数凑在一起计算最为恰当.,2.小于2018且不小于-2017的所有整数的和是()A.0B.1C.2017D.2018,答案A小于2018且不小于-2017的整数为2017,2016,1,0,-1,-2,-2017,这些数的和为0,故选A.,一、选择题1.(2018重庆南岸月考,2,)下列各式运算正确的是()A.(-3)+(+7)=-4B.(-2)+(+2)=-4C.(+6)+(-11)=-5D.(-5)+(+3)=-8,答案C(-3)+(+7)=4,(-2)+(+2)=0,(+6)+(-11)=-5,(-5)+(+3)=-2,只有C选项正确,故选C.,2.(2018山东青岛国开实验中学月考,4,)有理数a,b在数轴上的位置如图2-4-1所示,则a+b的值()图2-4-1A.大于0B.小于0C.小于aD.大于b,答案A由题中数轴可知,-11,所以|b|a|,所以a+b的值为正数,即a+b0.,二、解答题3.(2018江西吉安期中,20,)“滴滴打车”是一种新的网上约车的方式,更方便人们出行,小明国庆节第一天下午营运全是在泰和白凤大道南北走向的公路上进行的,如果向南记作“-”,向北记作“+”.他这天下午行车情况如下:(单位:千米,每次行车都有乘客)-2,+5,-1,+8,-3,-2,-4,+6.请回答:(8分)(1)将最后一名乘客送到目的地时,小明在下午出车的出发地的什么方向?距下午出车的出发地多远?(2)若规定每趟车的起步价是10元,且每趟车行驶的路程在3千米以内(含3千米)只收起步价;若超过3千米,除收起步价外,超过的每千米还需收2元钱,那么小明这天下午收到乘客所给车费共多少元?(3)若小明的出租车每千米耗油0.3升,每升汽油7元,不计汽车的损耗,那么小明这天下午是盈利还是亏损了?盈利(或亏损)多少钱?,解析(1)-2+5+(-1)+8+(-3)+(-2)+(-4)+6=7.答:小明在下午出车的出发地的北方,距下午出车的出发地7千米.(2)10+10+(5-3)2+10+10+(8-3)2+10+10+10+(4-3)2+10+(6-3)2=102.答:小明这天下午收到乘客所给车费共102元.(3)(|-2|+5+|-1|+8+|-3|+|-2|+|-4|+6)0.37=65.1,102-65.1=36.9.答:小明这天下午盈利了,盈利36.9元.,1.(2017山东枣庄东方国际学校第一次月考,11,)若x0,y0,且|x|y|,则x+y一定是()A.负数B.正数C.0D.无法确定符号,答案A由加法法则,知异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号.因为|x|y|且y0,所以x+y取y的符号,其结果一定是负数.,2.(2017甘肃张掖四中期中,5,)绝对值大于2且小于5的所有整数的和是()A.7B.-7C.0D.5,答案C绝对值大于2且小于5的整数有3、4,3+(-3)+4+(-4)=0.故选C.,3.(2017广东佛山顺德第一次联考,22,)下表列出了国外几个城市与首都北京的时差(带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数),如北京时间的上午10:00时,东京时间的10点已过去了1小时,现在已是11点.(6分),(1)如果现在是北京时间下午3:00,那么现在的纽约时间是多少?(2)此时(北京时间上午9:00)小明想给远在巴黎的姑妈打电话,你认为合适吗?为什么?,解析(1)15+(-13)=2.答:现在的纽约时间是凌晨2点.(2)9+(-7)=2.答:不合适,因为现在的巴黎时间是凌晨2点.,一、选择题1.(2017山东滨州中考,1,)计算-(-1)+|-1|的结果为()A.-2B.2C.0D.-1,答案B原式=1+1=2.,2.(2014黑龙江大庆中考,3,)已知ab且a+b=0,则()A.a0C.b0D.a0,答案D由a+b=0可知a与b互为相反数,又ab,因此a为正数,b为负数.故选D.,二、填空题3.(2017江西中考,9,)中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图2-4-2,根据刘徽的这种表示法,观察图2-4-2,可推算图2-4-2中所得的数值为.图2-4-2,答案-3,解析根据题意可得,题图中的数值为(+2)+(-5)=-3.,1.(2016贵州贵阳中考,1,)下面的数中,与-6的和为0的数是()A.6B.-6C.D.-,答案A互为相反数的两个数的和为0,-6的相反数是6,故选A.,2.(2015山东烟台中考,13,)如图,数轴上点A,B所表示的两个数的和的绝对值是.,答案1,解析由题中数轴知,A表示的数为-3,B表示的数为2.|(-3)+2|=1.,1.传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国古代数学史上经常研究此图.(1)现有1,2,3,4,5,6,7,8,9共九个数字,请将它们分别填入图2-4-3的九个方格中,使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15;(2)通过研究问题(1),利用你发现的规律,将3,5,-7,1,7,-3,9,-5,-1这九个数字分别填入图2-4-3的九个方格中,使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等.,图2-4-3,解析(1)如图.(2)如图.,图图,
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