资源描述
33.3 最大值与最小值,第3章 导数及其应用,学习导航,第3章 导数及其应用,1函数的最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大 值_ 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有 _，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的_ 一般地，在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值函数的最值必在端点处或极值点处取得,惟一,f(x)f(x0),最小值,注意：开区间(a，b)上连续函数yf(x)的最值有如下几种 情况： 图中的函数yf(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值; 图中的函数yf(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值; 图中的函数yf(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最 小值； 图中的函数yf(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最 小值,2函数的最值与极值的区别和联系 (1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较 (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值 (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值,3求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤 第一步，求f(x)在区间(a，b)上的_； 第二步，将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 注意：(1)若函数在闭区间a，b上连续单调，则最大、最小值在端点处取得 (2)当连续可导函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间,极值,1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)定义在闭区间a，b上的函数f(x)一定有最大值和最小值 ( ) (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)的最大值是f(b)，f(x)的最小值是f(a)( ) (3)定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值( ) (4)函数的所有极小值中最小的一个就是最小值( ),2函数f(x)x312x16，x2,3的最大值是_. 解析：f(x)3x2120，x2， f(2)8241632， f(2)824160， f(3)2736167， ymax32.,32,4若函数f(x)、g(x)在区间a，b上可导，且f(x)g(x)， f(a)g(a)，则在区间a，b上有f(x)与g(x)的大小关系为 _ 解析：f(x)g(x)， f(x)g(x)单调递增 xa，f(x)g(x)f(a)g(a)， 即f(x)g(x)0，即f(x)g(x),f(x)g(x),求函数的最值,当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2). (2)f(x)x24x3(x3)(x1)， 由f(x)0，解得x1或x3.,列表：,若函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)的函数值对于开区间(a,b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值，除求出函数的极大值、极小值外,还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象,再判定函数的最大(小) 值，否则会犯错误，但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点,解：f(x)2x2x3，解方程2x2x30， 得x0或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,含参数的最值问题,求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理,2已知a是实数，函数f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)在区间1,0上的最大值,函数最值的应用,有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题即 若f(x)f(x)max； 若f(x)c恒成立，则cf(x)min.,求方程x36x29x40的根的个数 解 法一：转化为求f(x)x36x29x4的零点的个数问 题 f(x)3x212x9，令f(x)0得x3或x1. 当x变化时，f(x)、f(x)随x变化情况如下表：,又当x时，f(x). x时，f(x). 故f(x)的图象大致如图所示 方程x36x29x40的根的个数为2个,法二：转化为求f1(x)x36x29x与f2(x)4图象交点的个数问题 f1(x)x36x29x， f1(x)3x212x9. 令f1(x)0得x3或x1. 当x变化时，f1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：,又当x时，f1(x). 当x时，f1(x). 故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示 由此知yf1(x)与yf2(x)图象有两个交点，故方程x36x29x40的根的个数为2个,名师点评 (1)方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x轴的交点的横坐标，因此研究方程的根的问题，可以转化为求函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决 (2)在讨论函数的大致图象时，利用导数得到函数的单调性以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况.,令f(x)0，解得x1， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,感悟提高 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确的构造出函数，最后再求出函数的最值,
展开阅读全文