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,第1章 常用逻辑用语,11 命题及其关系 11.1 四种命题,第1章 常用逻辑用语,学习导航,第1章 常用逻辑用语,1命题 能够判断_的语句叫做命题 2命题真假的判断 判断为_的语句叫做真命题，判断为_的语句叫做假命题 3命题的结构 命题的常见形式是“如果，那么”，可记为“_”，其中p是命题的_，q是命题 的_,真假,真,假,若p则q,条件,结论,4四种命题的概念 (1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题为_如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的_ (2)在两个命题中，如果一个命题的_和_分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做_把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的_,互逆命题,逆命题,条件,结论,互否命题,否命题,(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做_把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的_ (4)一般地，用p与q分别表示原命题的条件和结论，用_和_分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式如下： 原命题：_；逆命题：_；否命题：_；逆否命题：_.,互为逆否命题,逆否命题,非p,非q,若p则q,若q则p,若非p则非q,若非q则非p,5四种命题之间的关系 一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题,1.疑问句、祈使句、感叹句、陈述句中能是命题的有哪些？ 提示：陈述句 2在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？ 提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4. 3如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？ 提示：一定为真命题因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同,4判断下列命题的真假(在题后的括号中标注“真”或 “假”) (1)两个全等三角形的面积相等( ) (2)空集是任何集合的真子集( ) (3)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行( ) (4)若x21，则x1( ) (5)垂直于同一条直线的两个平面平行( ) (6)3能被2整除( ),真,假,真,假,真,假,命题的结构及真假判断,把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假 (1)奇数不能被2整除； (2)当(a1)2(b1)20时，ab1； (3)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2. (链接教材P6例2) 解 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题； (2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题； (3)已知x、y为正整数,若yx1,则y3且x2,是假命题,(1)找准命题的条件和结论，是解决这类题目的关键，对于个别问题还要注意大前提的写法如第(3)小题中，“已知 x、y为正整数”是大前提，不能把它写在条件中，应当写在前面，仍然作为命题的大前提 (2)命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式发生了变化 (3)一个命题若是假命题,只需找到一个反例来说明即可,1命题“一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数 根”，条件p：_， 结论q：_，是_命题(填 “真”或“假”) 解析:b24ac无法判断是否大于0,因而命题为假命题,一个方程是一元二次方程ax2bxc0,它有两个不相等的实数根,假,四种命题,分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题： (1)若m0，则x2xm0有实数根； (2)三边对应相等的两个三角形全等 (链接教材P6例1) 解 (1)逆命题：若x2xm0有实数根，则m0. 否命题：若m0，则x2xm0没有实数根 逆否命题：若x2xm0没有实数根，则m0. (2)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等 否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等 逆否命题：两个不全等三角形的三边不对应相等,(1)若命题不是“若p则q”的形式，应先改写为“若p则q”形式，再写其它三种命题 (2)判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可，而判断一个命题为真命题，一般要进行严格的逻辑推证，此类问题的解决往往依据基本的公理、定理、定义等 (3)一个命题为：若p则q，则它的否命题为：若非p则非q，也就是把条件和结论都否定一般情况下，“是”的否定是 “不是”；“相等”的否定是“不相等”；“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”,2解答下列各题： (1)判断命题“若cos Acos B，则AB”的真假； (2)写出(1)中的命题的逆命题、否命题和逆否命题，并指出这三个命题的真假,等价命题及其应用,已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”， (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论 (链接教材P19T8) 解 (1)逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.真命题 因为逆命题与否命题为等价命题，所以可证明否命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”为真命题,证明如下： ab0，则ab，ba. 因为函数f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a) 所以f(a)f(b)f(a)f(b)， 所以逆命题是真命题 (2)逆否命题:若f(a)f(b)f(a)f(b),则ab0.真命题 因为原命题与其逆否命题为等价命题，所以可证明其原命题为真命题 证明如下： ab0，ab，ba.又因为函数f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a) 所以f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题是真命题,由于原命题与逆否命题有相同的真假性，所以我们在证明某一个命题的真假性有困难时，可以通过证明它的逆否命题的真假性，从而间接地证明原命题的真假性反之，也成立,3判断命题“已知a，x为实数，若a1，则关于x的方程x2(2a1)xa220有实数解”的逆否命题的真假 解：逆否命题：已知a，x为实数，若关于x的方程x2(2a1)xa220无实数解，则a1. 对于原命题， 方程x2(2a1)xa220有实数解， (2a1)24(a22)4a70， a1并不一定使4a70， 若a1时，则关于x的方程x2(2a1)xa220有实数解为假，即原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题,在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则 x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中， 正确的个数是_ 解析 命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题是“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”；否命题是“若抛物线yax2bxc的开口向上，则x|ax2bxc0”；逆否命题是“若x|ax2bxc0，,1,则抛物线yax2bxc的开口向上”因为原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题而逆命题为假命题，所以否命题也为假命题，故正确命题的个数有一个 错因与防范 (1)对集合x|ax2bxc0不理解，而误认为原命题为假命题 (2)在写此命题的否命题时，将x|ax2bxc0错误地否定为x|ax2bxc0. (3)对四种命题之间的关系，把握不准致误 在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题结论的否定对象是集合，而非不等式,4.已知命题“菱形的对角线互相垂直”,则它的逆命题、 否命题、逆否命题的真假判断正确的是_ _ 解析：因为“菱形的对角线互相垂直”是真命题，故它的逆否命题是真命题；又逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，故它的否命题也是假命题，所以逆命题、否命题都为假，逆否命题为真,逆命题、否命题都为假，逆否命题为真,
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