第二讲 和差倍问题

第二讲 和、差与倍数的应用题做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算，而且要 多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始.加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练，就从这一、和差问题说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：大数=（和+差）2小数=（和-差）2会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.先看几个简单的例子.例1张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此数学得分=（9528）299.语文得分=(952-8）2 91.答：张明数学得99分，语文得91分.注：也可以从 952-9991求出语文得分.例2有 A，B，C三个数，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求这三个数.解：从B+C197与A+C149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此B=（252 197-149） 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C三数分别是102，150，47.注：还有一种更简单的方法（A+B）（BC）（CA）2（ABC）.上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和.ABC（252197149）2299.因此C299-25247，B299-149150，A299-197102.例3 甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？解：画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙两数之和是 75，差为17.甲筐苹果数=（7517）2 46（千克）.乙筐苹果数=75-4629（千克）.答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.例4 张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是 270元，差是 210元.外衣和鞋价之和=（270 210）2 240（元）.外衣价与鞋价之差是140，因此鞋价=（240-140）250（元）.答：买这双鞋花50元.再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.例5 李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.现在已把问题转化成标准的和差问题了.钟停的时间=（160120） 2 140（分钟）.路上用的时间=160-14020（ 分钟）.答：李叔叔的钟停了2小时20分.还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）220（分钟）.钟停时间=2小时 40分钟-20分钟=2小时20分钟.例6 小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张？解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7 0. 8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.20.84（张）.现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意1.5甲卡张数+0.7乙卡张数=21.4.1.5乙卡张数+0.7甲卡张数=21.4-3.2.从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是21.4（21.4-3.2）（1.5 0.7） 18（张）.因此，甲卡张数是（18 4） 2 11（张）.乙卡张数是 18-11 7（张）.答：小明买甲卡11张、乙卡7张.注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.例7有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是240厘米，大长形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？解：大长方形（A）的周长是原长方形的长2+宽4.大长方形（B）的周长是原长方形的长4+宽2.因此，240+258是原长方形的长6+宽6.原长方形的长与宽之和是（240258）683（厘米）.原长方形的长与宽之差是（258-240）29（厘米）.因此，原长方形的长与宽是长：（83 9）2 46（厘米）.宽：（83-9）237（厘米）.答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米二、倍数问题当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.例8 有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.解：两堆棋子共有8769156（个）.为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成134（份），即每份有棋子156 （13）39（个）.第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948（个）.答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.例9 有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书？解：我们画出下列示意图：我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即173-38-6129（本）恰好是3份，每一份是1293=43（本）.因此，第二层的书共有432 + 692（本）.答：书架的第二层有92本书.说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？解：设六年级学生人数是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-（23-11）人.每份是（975+12）7141（人）.男生人数=1414-23541（人）.女生人数=975-541434（人）.答：有男生541人、女生434人.例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里？70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双？解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是32=6（份）.40070将是 3+1610（份）.每份是（40070）1047（双）.原有旅游鞋 474=188（双）.原有皮鞋 476-70212 （双）.答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.下面例子将是本节的主要内容年龄问题.年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.例12 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的（5-1）倍.36（5-1）9.当时女儿是9岁，14-95，也就是5年前.答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.例13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.解：画出下面示意图：我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.因此每份是（300-70）2 115（立方米）.要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每个水池要注入45立方米的水.例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.例14 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是213（份）.今年，哥弟俩年龄之和是32=5（份）.每份是 555 11（岁）.哥哥今年的岁数是 11333（岁）.答：哥哥今年33岁.作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.例15 父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁.问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？解：现在父母年龄之和是38 36 74.现在儿子年龄的 4倍是 11444.相差74-44 30.从4倍来考虑，以后每年长144，而父母年龄之和每年长112.为追上相差的30，要30（4-2）15（年）答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.请读者想一想，例15的解法，与例12的解法，是否不一样？各有什么特点？我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式：（14 5-50）（5-1） 5（年）.不过要注意 145比 50多，因此是 5年前.三、盈不足问题在我国古代的算书中，九章算术是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.例16 有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？解：“多3元”与“少4元”两者相差347（元）.每个人要多出 8-71（元）.因此就知道，共有717（人），物价是87-353（元）.答：共有 7个人一起买，物价是 53元.上面的34可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.例17 把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的 10 3 30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10） 5（人）.再加上这 3位小朋友，共有小朋友 53 8（人）.这袋糖有10（5 3） 80（粒）.解二：如果我们再增加 163粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）这袋糖有80粒.答：这袋糖有80粒.这里， 163是总差，（16-10）是每份差， 8是份数.例18 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学？解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐；如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数，两者相差 6 9 15（人）.这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船（6 9）(9-6） 5（条）这个班的同学有 65 6 36（人）.答：这个班有36人.例19 小明从家去学校，如果每分钟走 80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走 80米，就可以多走 806（米）；如果每分钟走 50米，就要少走 503（米）.请看如下示意图：因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（806 503） （80- 50） 21（分钟）.家至学校距离是800（21-6） 1200（米）或 50 （21+3） 1200（米）.答：小明家到学校的路程是1200米.解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.用每分钟 50米速度，就要多用 63= 9（分种）.这9分钟所走的 509（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是50（63）（80- 50） 15（分钟）再看两个稍复杂的例子.例20 一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.假设还有 10个桔子， 10 25，就可以多有 5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给23=6（个）.每人给5个与给6个，总数相差10 10 8 28 (个）.所以原有人数 28（6-5)=28（人）.桔子总数是 5 28 10 150（个）.答：有桔子150个.例21 有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少？解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，236（个）梨.与后一种分堆比较：每堆苹果都是3个.而梨多1个（6-51）.梨的总数相差设想增加 10个+剩下5个=15个.（10 5）（6- 5） 15.就知有15个大堆，苹果总数是153 45（个）.梨的总数是（455）280（个）.答：有苹果45个、梨80个.解二：用图解法.前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示.后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份，苹果恰好是3份.将上、下两图对照比较，就可看出， 5 3 8（个）是下图中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 165 80（个）.苹果有 162.5 5 45（个）.