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2.4.1抛物线 及其标准方程,生活中的抛物线,问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？,在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象.,问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？,在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是y轴或平行于y轴的直线、开口向上或开口向下两种情形.,如果抛物线的对称轴不是y轴或平行于y轴的直线，那么还是二次函数的图象吗？抛物线有怎样的几何特征呢？请看几何画板演示.,平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.,可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MF|=|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等.,关于抛物线的定义，要注意点F不在直线l上，否则轨迹 是一条直线.,思考：我们可以怎样选择坐标系求解抛物线的方程？哪一种坐标系中所建立的抛物线的方程更简单？ 设点F到直线l的距离为p,抛物线标准方程,若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？,各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程.,抛物线的标准方程：,一次变量定焦点,开口方向看正负.,练一练.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）,（2）,（3）,（4）,方程,准线方程,焦点坐标,巩固新知,例1.根据下列条件写出抛物线的标准方程,y2=12x,y2=x,y2 =4x,y2 = -4x,x2 =4y,x2 = -4y,巩固新知,求抛物线焦点坐标和准线方程的方法： 1.把方程化为标准形式； 2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方 程中一次项是x (y),则对称轴为x（y）轴，焦 点在x (y)轴； 3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中 一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐 标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向； 4.定数值：焦点中的非零坐标是 ， 准线方程中的数值是 .,方法总结,解：如图所示，设抛物线的方程为 y2= -2px (p0) 将点（-4，-2）带入方程得：4=8p,得 2p=1 所以 y2 = -x 设抛物线的方程为 x2= -2py(p0) 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 p=4 所以x2= -8y,例2.已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.,巩固新知,巩固新知,随堂练习：,1.抛物线 y2=4x上一点M到焦点距离是3，则点M到准线的距离d是多少？并求出M点的坐标.,2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M 坐标为（-3,m）到焦点的距离等于5，求此抛物线的方程与m的值.,巩固新知,1.抛物线 y2=4x上一点M到焦点距离是3，则点M到准线的距离d是多少？并求出M点的坐标.,巩固新知,2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴抛物线上的点M 坐标为（-3,m）到焦点的距离等于5，求此抛物线的方程与m的值.,课堂小结：,1、抛物线的定义，要注意点F不在直线l上，否则轨迹 是一条直线.,2、抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别在于： (1)参数p的几何意义都是焦点到准线的距离； (2)方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴）一致，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向； (3)焦点的非零坐标是p/2.,3、注重数形结合和分类讨论的思想. 做题时注重以形助数！,课堂小结,抛物线的标准方程：,课堂小结,
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