2023届大一轮复习 第39讲 平面的性质与点线面的位置关系（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第39讲 平面的性质与点线面的位置关系 一、选择题（共12小题）1. 下列命题中，真命题的个数为 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M，M，l，则 MlA. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知 l1，l2，l3 是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. 若 l1l2，l2l3，则 l1l3B. 若 l1l2，l2l3，则 l1l3C. 若 l1l2l3，则 l1，l2，l3 共面D. 若 l1，l2，l3 共点，则 l1，l2，l3 共面 3. 以下四个命题中，正确命题的个数是 不共面的四点中，任意三点不共线；若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 A. l 与 l1，l2 都不相交B. l 与 l1，l2 都相交C. l 至多与 l1，l2 中的一条相交D. l 至少与 l1，l2 中的一条相交 5. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1=2AB=2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 A. 15B. 25C. 35D. 45 6. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 A. 22B. 32C. 52D. 72 7. 若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 A. l 与 l1，l2 都不相交B. l 与 l1，l2 都相交C. l 至多与 l1，l2 中的一条相交D. l 至少与 l1，l2 中的一条相交 8. 将图（1）中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD，如图（2），则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是 A. 相交且垂直B. 相交但不垂直C. 异面且垂直D. 异面但不垂直 9. 三棱锥 ABCD 的所有棱长都相等，M，N 分别是棱 AD，BC 的中点，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 A. 13B. 24C. 33D. 23 10. 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面ECD平面ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A. BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线B. BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线C. BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线D. BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 11. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 A. 15B. 56C. 55D. 22 12. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 A. 32B. 155C. 105D. 33 二、选择题（共1小题）13. 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2AA1，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异面直 AB1 与 C1F 所成角的余弦值为 m，则 A. m=33B. 直线 A1E 与直线 C1F 共面C. m=23D. 直线 A1E 与直线 C1F 异面 三、填空题（共7小题）14. 设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面，b平面，则 a，b 一定是异面直线上述命题中正确的命题是 （填序号） 15. 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为 16. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为 17. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为 （填序号） 18. 如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则（1）当 AC，BD 满足条件 时，四边形 EFGH 为菱形；（2）当 AC，BD 满足条件 时，四边形 EFGH 为正方形 19. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断中错误的是 （填序号） MN 与 CC1 垂直； MN 与 AC 垂直； MN 与 BD 平行； MN 与 A1B1 平行 20. a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 30 角；当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 60 角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60其中正确的是 （填写所有正确结论的编号） 四、解答题（共7小题）21. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：（1）E，C，D1，F 四点共面；（2）CE，D1F，DA 三线共点 22. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：（1）E，C，D1，F 四点共面（2）CE，D1F，DA 三线共点 23. 已知空间四边形 ABCD（如图所示），E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG=13BC，CH=13DC求证：（1）E，F，G，H 四点共面；（2）三直线 FH，EG，AC 共点 24. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点求证：（1）AM 和 CN 共面；（2）D1B 和 CC1 是异面直线 25. 已知不共面的三条直线 a，b，c 相交于点 P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD 与 BC 是异面直线 26. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值 27. 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，（1）求 AC 与 A1D 所成角的大小；（2）若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小答案1. B【解析】根据公理 2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上所述，真命题的个数为 22. B【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错误；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错误3. B【解析】显然是正确的，可用反证法证明；若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图，显然 b，c 异面，故不正确；空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为 14. D【解析】由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一条与 l 相交5. D【解析】连接 BC1易证 BC1AD1，则 A1BC1 或其补角为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，由 AB=1，AA1=2，易得 A1C1=2，A1B=BC1=5，故 cosA1BC1=5+52255=45，即异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 456. C【解析】取 DD1 中点 F，连 EF，AF，AE，易知 EFDC，所以 AEF 为两异面直线所成的角在 RtAEF 中，令正方体棱长为 1，则 EF=1，AF=52，所以 tanAEF=AFEF=52故选C7. D【解析】由于 l 与直线 l1，l2 分别共面，故直线 l 与 l1，l2 要么都不相交，要么至少与 l1，l2 中的一条相交若 ll1，ll2，则 l1l2，这与 l1，l2 是异面直线矛盾故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交8. C【解析】折起前 ADBC，折起后有 ADBD，ADDC，所以 AD平面BCD，所以 ADBC又 AD 与 BC 不相交，故 AD 与 BC 异面且垂直9. D【解析】连接 DN，取 DN 的中点 O，连接 MO，BO，因为 M 是 AD 的中点，所以 MOAN，所以 BMO（或其补角）是异面直线 BM 与 AN 所成的角，设三棱锥 ABCD 的所有棱长为 2，则 AN=BM=DN=2212=3，则 MO=12AN=32=NO=12DN，则 BO=BN2+NO2=1+34=72在 BMO 中，由余弦定理得 cosBMO=BM2+MO2BO22BMMO=3+34742332=23，所以异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 2310. B【解析】过 E 作 EQCD 于 Q，连接 BD，QN，BE，易知点 N 在 BD 上因为 平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCD=CD，所以 EQ平面ABCD，所以 EQQN，同理可知 BCCE，设 CD=2，易知 EQ=3，QN=1，则 EN=EQ2+QN2=3+1=2，BE=BC2+CE2=4+4=22易知 BE=BD，又因为 M 为 DE 的中点，所以 BMDE，所以 BM=BE2EM2=81=7，所以 BM=72=EN所以 BMEN又因为点 M，N，B，E 均在平面 BED 内，所以 BM，EN 在平面 BED 内，又 BM 与 EN 不平行，所以 BM，EN 是相交直线11. C【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知 D0,0,0，A1,0,0，D10,0,3，B11,1,3，所以 AD1=1,0,3，DB1=1,1,3则 cosAD1,DB1=AD1DB1AD1DB1=225=55，即异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 5512. C【解析】如图所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1 补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则 AD1BC1，所以 B1AD1 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角因为 ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，所以 AB1=5，AD1=2在 B1D1C1 中，B1C1D1=60，B1C1=1，D1C1=2，所以 B1D1=12+22212cos60=3，所以 cosB1AD1=5+23252=10513. B， C【解析】如图，连接 DC1，DF，则 DC1AB1，所以 DC1F 为异面直线 AB1 与 C1F 所成的角，因为 AB=2AA1，ABCDA1B1C1D1 为正四棱柱，E，F 分别为 AB，BC 的中点，设 AA1=2，则 AB=2，C1D=6，C1F=3，DF=5，所以在 DFC1 中，根据余弦定理，cosDC1F=6+35263=23；所以 m=23；连接 A1C1，AC，EF，则 A1C1AC，EFAC，所以 EFA1C1，所以 A1E 与 C1F 共面14. 【解析】由公理 4 知正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错误；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故错误； a，b，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故错误15. 4【解析】首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定 4 个平面16. 60【解析】连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故 D1B1C 即为所求的角又 B1D1=B1C=D1C，所以 B1D1C 为等边三角形，所以 D1B1C=6017. 【解析】直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误18. AC=BD，AC=BD 且 ACBD【解析】（1）因为四边形 EFGH 为菱形，所以 EF=EH，故 AC=BD（2）因为四边形 EFGH 为正方形，所以 EF=EH 且 EFEH，因为 EF 平行相等于 12AC，EH 平行相等于 12BD，所以 AC=BD 且 ACBD19. 【解析】如图所示，连接 B1C，B1D1，则 M 是 B1C 的中点，MN 是 B1CD1 的中位线，所以 MNB1D1，又 BDB1D1，所以 MNBD因为 CC1B1D1，ACB1D1，所以 MNCC1，MNAC又因为 A1B1 与 B1D1 相交，所以 MN 与 A1B1 不平行故错误20. 【解析】由题意，AB 是以 AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又 ACa，ACb，AC 圆锥底面，所以在底面内可以过点 B，作 BDa，交底面圆 C 于点 D，如图所示，连接 DE，则 DEBD，所以 DEb，连接 AD，设 BC=1，在等腰 ABD 中，AB=AD=2，当直线 AB 与 a 成 60 角时，ABD=60，故 BD=2，又在 RtBDE 中，BE=2，所以 DE=2，过点 B 作 BFDE，交圆 C 于点 F，连接 AF，EF，所以 BF=DE=2，所以 ABF 为等边三角形，所以 ABF=60，即 AB 与 b 成 60 角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足 平面ABC 直线 a，所以直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90，错误所以正确的说法为21. （1） 连接 EF，CD1，A1B因为 E，F 分别是 AB，AA1 的中点，所以 EFBA1又 A1BD1C，所以 EFCD1，所以 E，C，D1，F 四点共面（2） 因为 EFCD1，EFCD1，所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面ABCD，得 P平面ABCD同理 P平面ADD1A1又 平面ABCD平面ADD1A1=DA，所以 P直线DA所以 CE，D1F，DA 三线共点22. （1） 如图，连接 CD1，EF，A1B，因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，所以 EFA1B 且 EF=12A1B又因为 A1D1BC 且 A1D1=BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形所以 A1BCD1，所以 EFCD1，所以 EF 与 CD1 确定一个平面 所以 E,F,C,D1，即 E，C，D1，F 四点共面（2） 由（1）知，EFCD1，且 EF=12CD1，所以四边形 CD1FE 是梯形，所以 CE 与 D1F 必相交设交点为 P，则 PCE平面ABCD，且 PD1F平面A1ADD1，所以 P平面ABCD 且 P平面A1ADD1又因为平面 ABCD平面A1ADD1=AD，所以 PAD，所以 CE，D1F，DA 三线共点23. （1） 如图所示，连接 EF，GH因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，所以 EFBD. 又因为 CG=13BC，CH=13DC，所以 GHBD，所以 EFGH，所以 E，F，G，H 四点共面（2） 易知直线 FH 与直线 AC 不平行，但共面，所以设 FHAC=M，所以 M平面EFHG，M平面ABC又因为 平面EFHG平面ABC=EG，所以 MEG，所以 FH，EG，AC 共点24. （1） 如图，连接 MN，A1C1，AC因为点 M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，所以 MNA1C1因为 A1AC1C，所以四边形 A1ACC1 为平行四边形，所以 A1C1AC，所以 MNAC，所以 A，M，N，C 四点共面，即 AM 和 CN 共面（2） 因为 ABCDA1B1C1D1 是正方体，所以 B，C，C1，D1 不共面假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面，CC1平面，所以 D1,B,C,C1，这与 B，C，C1，D1 不共面矛盾所以假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线25. （方法 1）（反证法）：假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点 P，A，B，C，D 都在平面 内，所以直线 a，b，c 都在平面 内，与已知条件 a，b，c 不共面矛盾，假设不成立，所以 AD 和 BC 是异面直线（方法 2）（直接证法）：因为 ac=P，所以它们确定一个平面，设为 ，由已知 C平面，B平面，BC平面，AD平面，BAD，所以 AD 和 BC 是异面直线26. 如图所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1 补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则 AD1BC1，所以 B1AD1 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角因为 ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，所以 AB1=5，AD1=2在 B1D1C1 中，B1C1D1=60，B1C1=1，D1C1=2，所以 B1D1=12+22212cos60=3，所以 cosB1AD1=5+23252=10527. （1） 连接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1 是正方体，易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角因为 AB1=AC=B1C，所以 B1CA=60即 A1D 与 AC 所成的角为 60（2） 连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，ACBD，ACA1C1，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EFBD，所以 EFAC所以 EFA1C1即 A1C1 与 EF 所成的角为 90第16页（共16 页）