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第1讲 函数图象与性质及函数与方程,高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式,1(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm( ) A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关,真 题 感 悟,答案 B,答案 C,3(2017全国卷)已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是( ) A2，2 B1，1 C0，4 D1，3,解析 因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)1，于是1f(x2)1等价于f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.,答案 D,4(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是( ),解析 设f(x)2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)0，所以sin 2x0，所以2xk(kZ)，所以x(kZ)，故排除选项C.故选D.,答案 D,1函数的性质 (1)单调性 用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性 常见判定方法：()定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；()图象法；()复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；()导数法 (2)奇偶性：若f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)；若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0；奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；,考 点 整 合,2函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换 (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究 3求函数值域有以下几种常用方法： (1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等,4函数的零点问题 (1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标 (2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.,热点一 函数性质的应用 【例1】 (1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x) f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)( ) A50 B0 C2 D50,解析 (1)法一 f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，,f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，,f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，,f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，,f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C.,答案 (1)C (2)D,探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴),【训练1】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x 3，0时，f(x)6x，则f(919)_ (2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcba Cbac Db220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.,法二 (特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab.,答案 (1)6 (2)C,答案 (1)D (2)B,探究提高 (1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系 (2)识图：从图象与x轴的交点及值域、单调性、变化趋势、对称性、特殊值等方面找准解析式与图象的对应关系,解析 (1)函数y|f(x)|的图象如图yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)相切的情况，即y2x2，切点为(0，0)，此时a2022，即有2a0，综上，a2，0,(2)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.,答案 (1)D (2)C,探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围 (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究,答案 B,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数,答案 (1)C (2)2,探究提高 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解,解析 (1)f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.,g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数,答案 (1)C (2)(4，8),探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解 (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解 (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解,答案 (1)A (2)D,4.三种作函数图象的基本思想方法 (1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图； (2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状 5.求函数零点时，若对于给定的函数不能直接求解或画出图形，则常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,
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