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第3讲 数列的综合问题,专题三 数列与不等式,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围. 3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一 利用Sn，an的关系式求an,1.数列an中，an与Sn的关系,2.求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.,(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).,例1 (2018浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项.数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n. (1)求q的值；,解答,解 由a42是a3，a5的等差中项， 得a3a52a44， 所以a3a4a53a4428，解得a48.,因为q1，所以q2.,(2)求数列bn的通项公式.,解答,解 设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.,由(1)可得an2n1，,当n1时，b11也满足上式，,给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,跟踪演练1 已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn. (1)求数列an的通项公式；,解答,解 由已知a1anS1Sn， ,当n2时，由已知可得a1an1S1Sn1， ,若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.,即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an2n(nN*). 综上所述，数列an的通项公式为an0或an2n(nN*).,解答,解 因为an0，故an2n.,由n50，解得n5，所以当n4或n5时，Tn最小，,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.,热点二 数列与函数、不等式的综合问题,(1)若x0时，f(x)0，求的最小值；,解答,解 由已知可得f(0)0，,若0，则当x0时，f(x)0，f(x)单调递增， f(x)f(0)0，不合题意；,则当x0时，f(x)0，nN*). (1)证明：an1an1；,证明,证明 因为c0，a11，,下面用数学归纳法证明an1. 当n1时，a111； 假设当nk时，ak1，,所以当nN*时，an1. 所以an1an1.,证明,证明 由(1)知当nm时，anam1，,证明,真题押题精练,真题体验,1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.,解析,答案,63,解析 Sn2an1，当n2时，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 当n1时，a1S12a11，得a11. 数列an是首项a11，公比q2的等比数列，,S612663.,2.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*). 证明：当nN*时， (1)00. 假设当nk(kN*)时，xk0， 那么当nk1时，若xk10， 则00， 因此xn0(nN*). 所以xnxn1ln(1xn1)xn1， 因此0xn1xn(nN*).,证明,证明 由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn,记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函数f(x)在0，)上单调递增， 所以f(x)f(0)0，,证明,证明 因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，,押题依据 数列与不等式的综合是高考重点考查的内容，常以解答题的形式出现，也是这部分的难点，考查学生的综合能力.,解答,押题依据,(1)求b2的值；,解 由已知得a23a128，,押题预测,解答,(2)求证：数列an1为等比数列，并求出数列an的通项公式；,解 由条件得an13an2，,所以数列an1是以a11为首项，3为公比的等比数列. 即an1(a11)3n13n， 所以数列an的通项公式为an3n1(nN*).,证明,所以原不等式成立；,先证明不等式左边，当n2时，,再证明不等式右边，当n2时，,综上所述，不等式成立.,
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