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第4讲 不等式,专题三 数列与不等式,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主. 2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围. 3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,热点一 基本不等式,解析,答案,当且仅当a2b2时，上面不等式中两个等号同时成立，,则f(x)|x1|x2|x4|,所以当x2时，函数f(x)取得最小值f(2)523，故选A.,(2)(2018诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(ab)(a2b)ab9，则3a4b的最小值为_.,解析,答案,解析 由(ab)(a2b)ab9，,在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误.,解析,答案,xy1，,解析,答案,x2y24， (xy)2x2y22xy2(x2y2)8， 当且仅当xy时取等号，,热点二 简单的线性规划问题,解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.,解析,答案,2 8,当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin43(2)2； 当目标函数的图象经过B(2，2)时，zmax2328.,解析,答案,解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP， 设zx2y2，求zx2y2的取值范围， 即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围. 由图可知，作OHMN于点H，,又OP2223213，但点P不在图中阴影部分内， zx2y2取不到13，,(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围. (2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.,A.(，2 B.1,1 C.1，2) D.(1，),解析,答案,直线xy220恒过定点(2，2)， 由图易得不等式组 表示的平面区域为阴影部分在直线 xy220下方的部分， 当1时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；,当0)表示的平面区域为，P(x，y)为上的点，当2xy 的最大值为8时，的面积为 A.12 B.8 C.4 D.6,解析,答案,解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域， 其是以(0，0)，(m，m)，(m，2m)为顶点的三角形区域(包含边界)， 由图(图略)易得当目标函数z2xy经过平面区域内的点(m，2m)时， z2xy取得最大值， 所以2m2m8，解得m2， 则此时平面区域的面积为 2(42)6，故选D.,热点三 绝对值不等式及其应用,1.绝对值不等式的解法 (1)|axb|c(c0)caxbc； |axb|c(c0)axbc或axbc. (2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法. 2.绝对值三角不等式 (1)|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立. (2)|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.,解析,答案,(2)已知mR，要使函数f(x)|x24x92m|2m在区间0，4上的最大值是9，则m的取值范围是_.,解析,答案,解析 不等式即为|x24x92m|2m9，x0，4， 等价于|x24x92m|92m，x0，4， 2m9x24x92m92m，x0，4， 4m18x24x0，x0，4， 结合函数的定义域可得(x24x)min4，,(1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件. (2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定.,解析 |x1|x|y1|y1| |(x1)x|(y1)(y1)|3， 当且仅当0x1，1y1时等号成立.,跟踪演练3 (1)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4,解析,答案,解析,答案,真题押题精练,真题体验,1.(2016上海)设xR，则不等式|x3|1的解集为_.,解析,答案,(2，4),解析 由1x31，得2x4，故解集为(2，4).,解析,答案,2.(2017浙江改编)若x，y满足约束条件 则zx2y的取值范围是_.,4，),解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.,z取得最小值，即zmin2214. 所以zx2y的取值范围是4，).,3.(2016浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是_.(填序号) 若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100； 若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100； 若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100； 若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c20，,解析,答案,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合.,当且仅当xy时取等号. (xy)25(xy)40， 解得1xy4，xy的最大值是4.,答案,解析,押题依据,押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容.往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式.,x2x1a2a对任意实数x恒成立.,押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点.,A.6 B.6 C.7 D.8,答案,解析,押题依据,画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，,当直线z4xy过点C(1，3)时，z取得最小值且最小值为437，故选C.,A.(4，2) B.(，4)(2，) C.(，2)(0，) D.(2，0),押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点.,答案,解析,押题依据,所以x22x8， 解得4x2，故选A.,
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