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第8讲曲线与方程最新考纲1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.F1(x，y)0，知识梳理1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0，并化简(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解F2(x，y)0若此方程组无解，则两曲线无交点辨析感悟1曲线与方程的概念(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件()(3)(教材习题改编)方程yx与xy2表示同一曲线()(4)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(7)已知点F4，0，直线l：x4，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴2求曲线的轨迹方程(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(6)两条动直线yxb，y2xb(bR)交点的轨迹方程是3x2y0.()11的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线()x2y2(8)(2014济南质检)过椭圆a2b21(ab0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为x24y2N，则线段MN中点的轨迹方程是a2b21.()感悟提升1曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点如(2)错误理解了曲线方程的含义2求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.学生用书第154页1考点一直接法求轨迹方程【例1】如图所示，A(m，3m)和B(n，3n)两点分别在射线OS，OT上移动，且OAOB2，O为坐标原点，动点P满足OPOAOB.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？234mn，解(1)由OAOB(m，3m)(n，3n)2mn.11得2mn2，mn4.(2)设P(x，y)(x0)，由OPOAOB，得(x，y)(m，3m)(n，3n)(mn，3m3n)xmn，y2整理得xy3m3n，1y2又mn4，P点的轨迹方程为x231(x0)y2它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x231的右支xmn，规律方法(1)一是解本题第(2)时，根据y3m3n，利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程【训练1】(2013陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点|O1M|x242，又|O1A|(x4)2y2，(x4)2y2x242，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.考点二定义法(待定系数法)求轨迹方程【例2】一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x3)2y24，(x3)2y2100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|R2.当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|10R.将两式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，动圆圆心M(x，y)到点O1(3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(3,0)，O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆2c6,2a12，c3，a6，b236927，x2y2圆心轨迹方程为36271，轨迹为椭圆规律方法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义【训练2】如图所示，已知C为圆(x2)2y24的圆心，点A(2，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且MQAP0，AP2AM.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解圆(x2)2y24的圆心为C(2，0)，半径r2，MQAP0，AP2AM，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|r2，又|AC|222，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c2，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.学生用书第155页考点三代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】(2012辽宁卷)如图，动圆C1：x2y2t2,1t3，与x2椭圆C2：9y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程审题路线(1)设出点A的坐标利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件进而求出t值(2)点M受点A的变化制约根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程解(1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD4|x0y0|，x20由9y021得y210，x2199从而x002y2x210x22.x2090990249120当x02，y22时，Smax6.2从而t2x20y05，t5，当t5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.x2(2)由椭圆C2：9y21，知A1(3,0)，A2(3,0)，直线AA1的方程为y(x3)y0x03y20x09又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y0210.又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，y0x03直线A2B的方程为y(x3)由得y22(x29)x29x2将代入得9y21(x3，y0)x2因此点M的轨迹方程为9y21(x3，y0)规律方法(1)一是本题的轨迹方程中，要求x3，yb0)的左、右焦点分别是F1，F2，共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定三审结论：变为kkk，把k与kk均用x0，y0表示后可消去(2)m的取值范围是2，2(过程略)3离心率为2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公11kk1kk2值，并求出这个定值审题一审条件：可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程二审条件：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则0111111212x2解(1)椭圆C的方程为4y21(过程略)33(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立4y1，x22整理得yyk(xx)，又4y201，所以16y20k28x0y0kx200，即(4y0kx0)20.故k4y0.由椭圆C可得F1(3，0)，F2(3，0)，又P(x0，y0)，所以kk0y0yy0，所以kkkkkkkx0y08.0022(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y02kx0y0k2x201)0.由题意，得0，即(4x0)k22x0y0k1y200.x20x011x3x312002x0111114y2x120120因此kkkk为定值，这个定值为8.1112反思感悟对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值【自主体验】x2y2(2013新课标全国卷)已知椭圆E：a2b21(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()x2y2x2y2A.45361B.36271x2y2x2y2C.27181D.1891解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x122y2121，则abxya2b221，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)得0，x1x2a2(yy)01又kAB2，所以a22.a2b2又因为x1x22，y1y22，y1y2b2(x1x2)b2所以kABa2.121b2131又9c2a2b2，解得b29，a218，x2y2所以椭圆E的方程为1891.故选D.答案D基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1方程(xy)2(xy1)20的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条直线C两个点D4条直线xy0，解析由(xy)2(xy1)20得xy10，x1，x1，或y1y1.即方程表示两个点(1,1)和(1，1)答案C2若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足PMPN0，则P点的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析PMPN0，PMPN.点P的轨迹是以线段MN为直径的圆答案A3(2014珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若RAAP，则点P的轨迹方程为()Ay2xBy2xCy2x8Dy2x4解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RAAP知，点A是线段RP的中点，xx1，yy0，2211x12x，即y1y.点R(x1，y1)在直线y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.答案B4已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点()A(2,0)B(1,0)C(0,1)D(0，1)解析直线x1是抛物线y24x的准线，由抛物线定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)答案B5(2014广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆答案Ay6平面上有三个点A(2，y)，B0，2，C(x，y)，若ABBC，则动点C的轨y解析AB0，2(2，y)2，2，0，x，BC(x，y)22x，20，即y28x.2，2yyy二、填空题迹方程是_ABBC，ABBC0，yy动点C的轨迹方程为y28x.答案y28x7已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，圆的面积S224.答案4ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程_解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|8263)x2y2答案9161(x3)三、解答题9设点P是圆x2y24上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，3且MP02PP0.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若直线l：yx1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值解(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)3由MP0(x0x，y)，PP0(0，y0)，且MP02PP0，3得(x0x，y)2(0，y0)于是x0x且y023y，点M的轨迹C的方程为1.420又x0y24，x23y24.x2y243(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)yx1，联立x2y2431，得7x28x80，822(x1x2)24x1x22777.(2)过点2，0作直线l，与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直88x1x27，且x1x27.则|AB|(x1x2)2(y1y2)22|x2x1|3224310已知点A(2,0)，B(2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为4.(1)求动点P的轨迹C的方程；1线MA的斜率k的取值范围(2)依题意得，直线l过点2，0，且斜率不为零，故可设其方程为xmy.解(1)设P点的坐标为(x，y)，yy3x2依题意得x24(x2)，x2y2化简并整理得431(x2)x2y2动点P的轨迹C的方程是431(x2)112x2y212xmy1由43，消去x得x0my022y0m3m24x024m24当m0时，k1综合，直线AM的斜率k的取值范围是8，8.4(3m24)y212my450，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，yy3m3m，y01222(3m24)y1y23m24，1，k，当m0时，k0，444，又|4mm|4|m|m|8，4mm1110b0)的两个焦点分别为F1(1,0)，41(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，211且|AQ|2|AM|2|AN|2，求点Q的轨迹方程解(1)由椭圆定义知312323123222.2a|PF1|PF2|4141的坐标为0，25(1k2)x2(1k2)x21(1k2)x22即x2x2x2.所以a2.c122又由已知得，c1，所以椭圆C的离心率ea2.x2(2)由(1)知，椭圆C的方程为2y21.设点Q的坐标为(x，y)(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q35.(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则2|AM|2(1k2)x1，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.211由|AQ|2|AM|2|AN|2，得211，211(x1x2)22x1x2112x2x2x2将ykx2代入2y21中，得(2k21)x28kx60.210k3又0，2满足10(y2)23x218，(y2)5，4，且1y1，则y，2225.，y25即x，00，.2故x，.213599所以点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x3由(8k)24(2k21)60，得k22.8k61，x1x21由可知，x1x22k22k2，代入中并化简，得18x2.y2因为点Q在直线ykx2上，所以kx，代入中并化简，得10(y2)23x218.33由及k22，可知0x22，662355662由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以1y1，又由10(y2)2183x2有662，2135，2.学生用书第156页
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