中考数学二轮专题复习 运动型专题

2012年中考数学二轮专题复习 运动型专题一 专题诠释动态几何题是指随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何题，是近年来中考数学的热点题型。这类试题信息量在对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；注重在图形的形状或位置的变化过程中寻求函数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积的联系，有较强的综合性。二 解题策略和解法精讲解题时要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想，展示了一种数学的创造过程。现举例如下：三 考点精讲考点一：点的运动例1（2011江苏盐城）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）联立方程y = - x +7和y = x即可求出点A的坐标，今y=-x+7=0即可得点B的坐标。 （2）只要把三角形的面积用t表示，求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。 只要把有关线段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线l与AB相交）和P在CA上运动（此时直线l与AO相交）时AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件。【答案】（1）根据题意，得，解得 ，A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7B（7，0）. （2）当P在OC上运动时，0t4.由SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得(3+7)4-3(4-t)- t(7-t)- t4=8整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4t7. 由SAPR= (7-t) 4=8，得t=3（舍） 当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. 当P在OC上运动时，0t4. 此时直线l交AB于Q。AP=，AQ=t，PQ=7-t当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0 t=13 (舍) 当P在CA上运动时，4t7. 此时直线l交AO于Q。过A作ADOB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E，则QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cosOAC= = ，得AQ = (t-4)当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = . 当AQ=PQ时，AEPE，即AE= AP得t-4= (7-t)，解得t =5. 当AP=PQ时，过P作PFAQ于FAF= AQ = (t-4). 在RtAPF中，由cosPAF ，得AF AP即 (t-4)= (7-t)，解得t= .综上所述，t=1或 或5或 时，APQ是等腰三角形. 【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，主要考查了一次函数，二元一次方程组，勾股定理，三角函数，一元二次方程，等腰三角形。等知识，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度考点二：线的运动 例2（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CD轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系【分析】求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离因此需过点P作x轴或y轴的垂线然后探索运动过程中，点P的运动情况（2）中探索与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系这样所求问题就较简单了解：作PHOB于H 如图1，OB6，OA，OAB30PBt，BPH30，BH，HP ;OH，P，图1图2图3当P在左侧与直线OC相切时如图2，OB，BOC30，BC，PC 由，得 s，此时P与直线CD相割当P在左侧与直线OC相切时如图3，PC由，得s，此时P与直线CD相割综上，当或时，P与直线OC相切，P与直线CD相割 【点评】本题是“双动”问题，动点在动直线上运动情景简单，但思考力度较复杂在解题时应分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”这道试题虽然模型简单，但具有较高的区分度，是中考中难得一见的好题必然会对今后动点问题的命题有一定的指导、借鉴作用考点三：图形的运动例3（2011四川重庆）如图，矩形ABCD中，AB6，BC2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t0)(1)当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）要使点A在线段PQ的垂直平分线上，则有AP = AQ.，根据这个等量关系可列出关于t的方程，从而得解（2）四边形APEC的面积可转化为ABC的面积减去BPE的面积得到，而BPE的面积可过P作，交BE于M，可证RtABCRtBPM，得PM关于t的式子，从而得面积y与t的一个二次函数，从而可得面积的最小值。（3）过P作，交AC于N，假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点能在同一条直线上。可证PAN BAC.，从而得到t的值，再看t是否满足0t4.5来判断t的存在性【答案】(1)当等边EFG的边FG恰好经过点C时(如图)，CFB60，BF3t，在RtCBF中，BC2，tanCFB，tan 60=，BF2，t3t 2，t1 (2)当0t1时，S= 2 t4；当1t3时，S= t 2+3 t；当3t4时，S= 4 t20；当4t6时，S= t212 t36(3)存在，理由如下： 在RtABC中，tanCAB=，CAB=30又HEO=60，HAE=AHE=30AE=HE=3t或t3（）当AH=AO=3时（如图），过点E作EMAH于M，则AM=AH=在RtAME中，cosMAE，即cos 30=，AE=，即3t=或t3=，t=3或3 （）当HA=HO时（如图），则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90EO=2HE=2AE又AEEO=3，AE2AE=3AE=1即3t=1或t3=1，t=2或4 （）当OH=OA时（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB点E和O重合，AE=3即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0综上所述，存在5个这样的值，使AOH是等腰三角形，即： t=3或t=3或t=2或t=4或t=0 【点评】本题是一个动态图形和运动质点相结合的情形中讨论某一特殊情况、图形面积最小值、三点共线的存在性问题本题为整卷压轴题,综合程度较高,难度较大.其编排上具有起点低、坡度缓、难点分散但综合程度高的特点，全题共分三小题,各小题没有很强的承接性，较好地实现了对初中数学基础知识、基本技能和以数学思维为核心的综合能力考查。全题所呈现的数学思想与方法有:图形的变换思想、方程的思想、数形结合的思想，所涉及到的数学知识有：三角形面积、二次函数、相似三角形、勾股定理、三角函数、解方程等的知识考点四：圆的运动例4.（2011福建泉州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与x轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由APxyKO第25题 图1【分析】O滚过的路程圆心O滚动过程中移动的距离，也即以切点E、N为端点的线段长，所以只要求出起始位置中切点E与A点的线段长与终点位置中切点N与B点的线段长，再将AB的长减去这两条线段长即可求得O滚过的路程 解：（1）P分别与两坐标轴相切， PAOA，PKOK PAO=OKP=90 又AOK=90， PAO=OKP=AOK=90 四边形OKPA是矩形 又OA=OK， 四边形OKPA是正方形2分（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为OAPxyBC图2GM过点P作PGBC于G四边形ABCP为菱形，BC=PA=PB=PCPBC为等边三角形在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=sinPBG=，即解之得：x=2（负值舍去） PG=，PA=BC=24分易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3 A（0，），B（1，0） C（3，0）6分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：解之得：a=， b=， c=二次函数关系式为：9分解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： 解之得：u=， v=直线BP的解析式为：过点A作直线AMPB，则可得直线AM的解析式为：解方程组：得： ； 过点C作直线CMPB，则可设直线CM的解析式为： 0= 直线CM的解析式为：解方程组：得： ； 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分解法二：，A（0，），C（3，0）显然满足条件延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，点M的纵坐标为又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4点M（4，）符合要求点（7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，点M的纵坐标为即解得：（舍），点M的坐标为（4，）点（7，）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）12分【点评】由圆的滚动，作出圆心经过的路线并求出其长度，让学生体验圆的滚动中的规律，考查了直线与圆相切，弧长的计算等有关知识，注重了全等、三角函数、圆等知识之间的联系。一个圆沿直线滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度四真题演练1.（2011山东菏泽）如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值ABCDxyO112.（2011江苏扬州）如图，在RtABC中，BAC=90，AB0）（1）PBM与QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若ABC=60，AB=4厘米。 求动点Q的运动速度； 设RtAPQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。 3. （2011山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. (第23题)【答案】：1.解：（1）把点A(1，0)的坐标代入抛物线的解析式yx2bx2， 整理后解得，所以抛物线的解析式为 顶点D （2）AB=5，AC2=OA2OC2=5，BC2=OC2OB2=20， AC2BC2=AB2ABC是直角三角形 （3）作出点C关于x轴的对称点C，则C (0，2)，OC=2连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD的值最小设抛物线的对称轴交轴于点COMDEMm=2.解：（1）PBM与QNM相似；MNBC MQMP NMB=PMQ=BAC =90PMB=QMN, QNM=B =90C PBMQNM（2）ABC=60，BAC =90,AB=4,BP=tAB=BM=CM=4,MN=4 PBMQNM 即：P点的运动速度是每秒厘米， Q点运动速度是每秒1厘米。 AC=12,CN=8 AQ=12-8+t=4+t, AP=4t S=（3） BP2+ CQ2 =PQ2 证明如下： BP=t, BP2=3t2 CQ=8-t CQ2=(8-t)2=64-16t+t2PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64BP2+ CQ2 =PQ23.（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为. (2) 答：与相交. 证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为. 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为.(第3题) 此时，点的坐标为（3，）. 第二部分 练习部分1. （2011安徽）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）A B C D2. （2011山东威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线ADDCCB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）3. （2011甘肃兰州）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是ABCDEFGHxy-1O1xy1O1xyO1xy1O11ABCD4.（2011山东潍坊）如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆，圆心为C，定点E的坐标为（3,0），连接ED.（m0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图. 5.（2011安徽芜湖）平面直角坐标系中，如图放置，点A、C的坐标分别为、，将此平行四边形绕点O顺时针旋转，得到.（1）若抛物线过点,求此抛物线的解析式;（2）求和重叠部分的周长;（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标. 练习答案：1.C2.B3. B4. 【解】（1），.（2）设直线ED的解析式为，将、代入，得解得直线ED的解析式为.，顶点M的坐标为.把代入，得.，.当时，点M在直线DE上.连接CD，C为AB中点，C点坐标为.，CD=2，点D在圆上.又OE=3，.EDC=90，直线ED与C相切.（3）当时，即.当时，即.图象示意图如图中的实线部分.5.解: （1）由旋转得到，且点A的坐标为，点的坐标为. 1分所以抛物线过点.设抛物线的解析式为，可得 解得 4分 过点的抛物线的解析式为. 5分（2）因为，所以.所以.又, . 又.7分. 又的周长为，所以的周长为.9分（3）解法1连接，设M点的坐标为，因为点M在抛物线上，所以，10分所以 12分因为，所以当时，. 的面积有最大值13分所以当点M的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为14分解法2设直线的解析式为，点的坐标分别为， 解得 .10分将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时最大，设平移后的直线的解析式为：，则有： 得，令，得. .解得 点坐标为,点P的坐标为.12分因为MP,所以与同底等高，它们面积相等.故.所以当点M的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为 14分18