2023届大一轮复习 第30讲 平面向量的基本定理与坐标运算（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第30讲 平面向量的基本定理与坐标运算 一、选择题（共14小题）1. 设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 A. e1+e2 和 e1e2B. 3e14e2 和 6e18e2C. e1+2e2 和 2e1+e2D. e1 和 e1+e2 2. 已知平面向量 a=2,1，b=1,1，c=5,1，若 a+kbc，则实数 k 的值为 A. 114B. 12C. 2D. 114 3. 设 a，b 是两个不共线的非零向量，若 8a+kb 与 ka+2b 共线，则实数 k= A. 4B. 4C. 4D. 0 4. 如图，OC=2OP，AB=2AC，OM=mOB，ON=nOA，若 m=38，那么 n= A. 34B. 23C. 45D. 58 5. 设 A0,1，B1,3，C1,5，D0,1，则 AB+AC 等于 A. 2ADB. 2ADC. 3ADD. 3AD 6. 已知 M3,2，N5,1，且 MP=12MN，则 P 点的坐标为 A. 8,1B. 1,32C. 1,32D. 8,1 7. 已知向量 a=1,1，b=1,3，c=2,1，且 abc，则 = A. 3B. 3C. 17D. 17 8. 已知向量 OA=3,4，OB=6,3，OC=2m,m+1若 ABOC，则实数 m 的值为 A. 15B. 35C. 3D. 17 9. 已知向量 a=1,2，b=2,x，a+b 与 b 平行，则实数 x 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 10. 一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若 AB=2AE，AD=3AF，AM=ABAC,R，则 52= A. 12B. 1C. 32D. 3 11. 已知 M3,2，N5,1，且 MP=12MN，则 P 点的坐标为 A. 8,1B. 1,32C. 1,32D. 8,1 12. 设向量 OA=1,2，OB=2m,1，OC=2n,0，m,nR，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则 m+n 的最大值为 A. 3B. 2C. 2D. 3 13. 如图，已知 OA=OB=1，OC=3，OCOB，OA,OC=30，若 OC=xOA+yOB，x+y= A. 1B. 2C. 3D. 4 14. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP=AB+AD，则 + 的最大值为 A. 3B. 22C. 5D. 2 二、填空题（共11小题）15. 已知向量 a=1,2，b=2,2，c=1,若 c2a+b，则 = 16. 已知 A1,3 和 B8,1，如果点 C2a1,a+2 在直线 AB 上，则 a= 17. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，P 为 CO 的中点，AB+AD=AP，则 = 18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点若 BE=BA+BD,R，则 += 19. 若三点 A1,5，Ba,2，C2,1 共线，则实数 a 的值为 20. 已知向量 a=1,2，b=2,2，c=1,若 c2a+b，则 = 21. 如图，在 ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，BG=2GO，设 CDAG，若 AD=15AB+ACR，则 的值为 22. 如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若 AB=mAM，AC=nANm,n0，则 1m+4n 的最小值为 23. 向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=a+b,R，则 = 24. 已知点 A4,0，B4,4，C2,6，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 25. 已知向量 OA=k,12，OB=4,5，OC=k,10，且 A，B，C 三点共线，则 k= 三、解答题（共2小题）26. 已知 a=1,0，b=2,1（1）当 k 为何值时，kab 与 a+2b 共线?（2）若 AB=2a+3b，BC=a+mb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 27. 如图，已知平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L，且 AK=e1，AL=e2，试用 e1，e2 表示 BC，CD答案1. B【解析】选项B中，6e18e2=23e14e2，所以 6e18e2 与 3e14e2 共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底故选B2. B【解析】因为 a=2,1，b=1,1，所以 a+kb=2+k,1+k，又 c=5,1，由 a+kbc，得 2+k1=5k1，解得 k=123. C【解析】由题意知 8a+kb 与 ka+2b 为非零向量且共线，故存在实数 ，使得 8a+kb=ka+2b，则 8=k，k=2，得 =2，k=4故选C4. A【解析】法一由 OC=2OP，AB=2AC，知 C 是 AB 的中点，P 是 OC 的中点，所以 OC=12OA+OB，则 OP=14OA+OB，又 OM=38OB，ON=nOA，从而 MN=ONOM=nOA38OB，MP=OPOM=14OA+OB38OB=14OA18OB，又点 M，P，N 共线，所以存在实数 ，使 MN=MP 成立，即 nOA38OB=14OA18OB又因为 OA，OB 不共线，所以有 n=14,38=18, 解得 n=34，故选A法二设 MP=MN，因为 OM=38OB，ON=nOA，所以 OP=OM+MP=38OB+ONOM=38OB+nOA38OB=381OB+nOA, 又知 OC=2OP，所以 OP=12OC=14OA+14OB，所以 381=14,n=14, 解得 =13，n=34，故选A5. C【解析】由题意得 AB=1,2，AC=1,4，AD=0,2，所以 AB+AC=0,6=30,2=3AD6. B【解析】设 Px,y，则 MP=x3,y+2，而 12MN=128,1=4,12，所以 x3=4,y+2=12, 解得 x=1,y=32, 所以 P1,327. C【解析】由题意 ab=1+,13，因为 abc，所以 213=1+，解得 =178. C【解析】因为 ABOC，所以 3,12m,m+1，3m+1=2m 所以 m=3选C9. D【解析】由已知 a+b=3,2+x，又 a+bb，所以 3x=22+x，解得：a=4，故选：D10. A【解析】AM=ABAC=ABAB+AD=ABAD=2AE3AF. 因为 E，M，F 三点共线，所以 2+3=1，即 25=1，所以 52=1211. B【解析】设 Px,y，则 MP=x3,y+2，而 12MN=128,1=4,12，所以 x3=4,y+2=12, 解得 x=1,y=32, 所以 P1,3212. A【解析】由题意易知，ABAC，其中 AB=OBOA=2m1,1，AC=OCOA=2n1,2，所以 2m12=12n1，得 2m+1+2n=1，2m+1+2n22m+n+1，所以 2m+n+122，即 m+n313. C【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设 A1,0，B12,32，C32,32，则 OC=32,32=x1,0+y12,32，所以 x12y=32,32y=32, 解得 x=2，y=1，所以 x+y=3，故选：C14. A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设 A0,1，B0,0，C2,0，D2,1，Px,y，易得圆的半径 r=25，即圆 C 的方程是 x22+y2=45， AP=x,y1，AB=0,1，AD=2,0，若满足 AP=AB+AD，则 x=2,y1=, =x2，=1y，所以 +=x2y+1，设 z=x2y+1，即 x2y+1z=0，点 Px,y 在圆 x22+y2=45 上，所以圆心 2,0 到直线 x2y+1z=0 的距离 dr，即 2z14+125，解得 1z3，所以 z 的最大值是 3，即 + 的最大值是 3，故选A15. 12【解析】由题可得 2a+b=4,2，因为 c2a+b，c=1,，所以 42=0，即 =1216. 13【解析】因为 AB=7,2，BC=2a9,a+3，且 ABBC，所以有 7a+3=22a9，解得 a=1317. 43【解析】因为 ABCD 为平行四边形，所以 AB+AD=AC=2AO，又 AP=32AO，得 AB+AD=43AP 已知 AB+AD=AP，故 =4318. 34【解析】由题意可得 BE=12BA+12BO=12BA+14BD，由平面向量基本定理可得 =12，=14，所以 +=3419. 54【解析】AB=a1,3，AC=3,4，根据题意 ABAC，所以 4a133=0，即 4a=5，所以 a=5420. 12【解析】因为 2a+b=4,2，c2a+b，所以 4=2，解得 =1221. 65【解析】因为 BG=2GO，BO 为 AC 边上的中点，所以 G 为 ABC 的重心，所以 AG=2312AB+AC=13AB+13AC因为 CDAG，所以设 CD=mAG，从而 AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB因为 AD=15AB+AC，所以 m3=15，=1+m3=6522. 92【解析】MO=AOAM=AB+AC21mAB=121mAB+12AC. 同理 NO=121nAC+12AB，又因为 M，O，N 三点共线，故存在实数 ，使得 121mAB+12AC=121nAC+12AB，即 121m2AB+122+nAC=0，因 AB，AC 不共线，据基本定理得 121m2=0 且 122+n=0，消掉 得 m+n=2，故 1m+4n=12m+n1m+4n=125+nm+4mn125+4=9223. 4【解析】以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形的边长为 1），则 A1,1，B6,2，C5,1，所以 a=AO=1,1，b=OB=6,2，c=BC=1,3因为 c=a+b，所以 1,3=1,1+6,2，即 +6=1,+2=3, 解得 =2，=12，所以 =424. 3,3【解析】（方法 1）由 O，P，B 三点共线，可设 OP=OB=4,4，则 AP=OPOA=44,4又 AC=OCOA=2,6，由 AP 与 AC 共线，得 44642=0，解得 =34，所以 OP=34OB=3,3，所以点 P 的坐标为 3,3（方法 2）设点 Px,y，则 OP=x,y，因为 OB=4,4，且 OP 与 OB 共线，所以 x4=y4，即 x=y又 AP=x4,y，AC=2,6，且 AP 与 AC 共线，所以 x46y2=0，解得 x=y=3，所以点 P 的坐标为 3,325. 23【解析】AB=OBOA=4k,7， AC=OCOA=2k,2因为 A，B，C 三点共线，所以 AB，AC 共线，所以 24k=72k，解得 k=2326. （1） kab=k1,02,1=k2,1，a+2b=1,0+22,1=5,2，因为 kab 与 a+2b 共线，所以 2k215=0，即 2k4+5=0，得 k=12（2） AB=2a+3b=21,0+32,1=8,3， BC=a+mb=1,0+m2,1=2m+1,m，因为 A，B，C 三点共线，所以 ABBC，所以 8m32m+1=0，即 2m3=0，所以 m=3227. 设 BC=x，CD=y，则 BK=12x，DL=12y由 AB+BK=AK，AD+DL=AL，得 y+12x=e1,x12y=e2, + 2，得 12x2x=e12e2，即 x=23e12e2=23e1+43e2，所以 BC=23e1+43e2同理可得 y=43e1+23e2，即 CD=43e1+23e2第9页（共9 页）