2023届大一轮复习 第33讲 复数（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第33讲 复数 一、选择题（共12小题）1. 设 z=3+2i，则在复平面内 z 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 已知 aR，若 a1+a2i（i 为虚数单位）是实数，则 a= A. 1B. 1C. 2D. 2 3. 设 1ix=1+yi，其中 x，y 是实数，则 x+yi 在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4. 若复数 1ia+i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围 A. ,1B. ,1C. 1,+D. 1,+ 5. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1,2，则 iz= A. 1+2iB. 2+iC. 12iD. 2i 6. 若 z=1+i，则 z22z= A. 0B. 1C. 2D. 2 7. 复数 113i 的虚部是 A. 310B. 110C. 110D. 310 8. 2i1+2i= A. 1B. 1C. iD. i 9. 已知复数 z=2+i，则 zz= A. 3B. 5C. 3D. 5 10. 设复数 z 满足 zi=1，z 在复平面内对应的点为 x,y，则 A. x+12+y2=1B. x12+y2=1C. x2+y12=1D. x2+y+12=1 11. 若 z1+i=2i，则 z= A. 1iB. 1+iC. 1iD. 1+i 12. 复数 21i（i 为虚数单位）的共轭复数是 A. 1+iB. 1iC. 1+iD. 1i 二、填空题（共20小题）13. 已知复数 z=21i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数为 14. 已知 x0，若 xi2 是纯虚数（其中 i 为虚数单位），则 x= 15. 已知复数 z=1i2i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为 16. 已知 i 为虚数单位，复数 z=3232i 的模为 17. 若复数 z 满足 z2i=z2+1（其中 i 为虚数单位），则 z= 18. 设复数 z 满足 z+ii=3+4i（i 为虚数单位），则 z 的模为 19. 若复数 z 满足 z1i=2i（i 是虚数单位），z 是 z 的共轭复数，则 zz= 20. 如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若 z2z1=i（i 为虚数单位），则 z2= 21. 已知复数 z=a+i1+3i（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 22. 若复数 z 满足 z1+i=1，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点在第 象限 23. 若复数 z 满足 za+2i=i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为 24. 已知复数 z=3+4i5i，其中 i 是虚数单位，则 z= 25. 已知复数 z=2i1i3i（i 为虚数单位），则复数 z 的模为 26. 复数 z 满足 zi=4+3i（i 是虚数单位），则 z= 27. 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足 1+iz=2，则 z= 28. 复数 21i（i 为虚数单位）的共轭复数是 29. 1+i1i6+2+3i32i= 30. 若复数 z 满足 2z+z=32i，其中 i 为虚数单位，则 z= 31. 已知复数 z=x+yi，且 z2=3，则 yx 的最大值为 32. 已知 i 是虚数单位，则复数 z=1+i2i 的实部是 三、解答题（共2小题）33. 已知 i 是虚数单位，复数 z=m21+im2+3i42+i，当 m 分别取何实数时，z 满足如下条件?（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零 34. 如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0，3+2i，2+4i，试求：（1）AO，BC 所表示的复数；（2）对角线 CA 所表示的复数；（3）B 点对应的复数答案1. C【解析】由 z=3+2i，得 z=32i，则 z=32i 对应的点 3,2 位于第三象限2. C【解析】因为 a1+a2i 为实数，所以 a2=0，所以 a=23. D【解析】因为 x，y 是实数，所以 1ix=xxi=1+yi，所以 x=1,x=y, 解得 x=1,y=1, 所以 x+yi 在复平面内所对应的点为 1,1，位于第四象限4. B【解析】因为 z1ia+i=a+1+1ai，所以它在复平面内对应的点为 a+1,1a，又此点在第二象限，所以 a+10, 解得 a0, 解得 x=115. 12【解析】解法 1：z=1ii2ii=1+i2=1212i，所以 z 的虚部是 12解法 2：设 z=a+bia,bR，则 2ia+bi=1i，即 2b+2ai=1i，所以 2b=1，得 b=1216. 3【解析】z=322+322=317. 1【解析】两边同时取模得 z2i=2z=z2+1，即 z22z+1=0，所以 z=118. 25【解析】因为 z+ii=3+4i，所以 zi=2+4i，所以 z=2+4ii=4+16=2519. 2【解析】因为 zz=z2，且 z=2i1i=22=2，所以 zz=220. 2i【解析】由图可知 z1=1+2i，又因为 z2z1=i，所以 z2=iz1=i1+2i=2i21. 3【解析】z=a+i1+3i=a+i13i1+3i13i=a+3+13ai10，由 z 是纯虚数，则 a+3=0，故 a=322. 四【解析】因为 z=11+i=1i2=1212i，所以对应的点为 12,12，故在第四象限23. 2【解析】由 za+2i=i 得 z=a+2ii=2+ai，又 z 实部和虚部相等，所以 a=224. 1【解析】解法 1：因为复数 z=3+4i5i=4535i，所以 z=452+352=1解法 2：根据复数的性质：z1z2=z1z2 可得：z=3+4i5i=3+4i5i=55=125. 5【解析】z=2i1i3i=2i1+i1i1+i3i=2+2i23i=12i，所以 z=12+22=526. 5【解析】由已知得，z=4+3ii=4+3iii2=3+4i1=34i，则 z=32+42=527. 2【解析】解法 1（定义法）z=21+i=1i，所以 z=2解法 2（复数模的性质）对 1+iz=2 两边同时取模，即 1+iz=2，结合模的运算性质有 1+iz=2，即 2z=2，所以 z=228. 1i【解析】先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果29. 1+i【解析】原式=1+i226+2+3i3+2i32+22=i6+6+2i+3i65=1+i30. 12i【解析】设 z=a+bia,bR，则 z=abi，所以 2a+bi+abi=32i，整理得 3a+bi=32i，所以 3a=3,b=2, 解得 a=1,b=2, 所以 z=12i31. 3【解析】因为 z2=x22+y2=3，所以 x22+y2=3由图可知 yxmax=31=332. 3【解析】因为复数 z=1+i2i，所以 z=2i+2ii2=3+i，所以复数的实部为 333. （1） z=m22m8+m23m4i当 m23m4=0 时，即 m=1 或 m=4 时，z 为实数；（2） 当 m23m40 时，即 m1 且 m4 时，z 为虚数；（3） m23m40,m22m8=0 时，即 m=2 时，z 为纯虚数；（4） m23m4=0,m22m8=0 时，即 m=4 时，z 为零34. （1） 因为 AO=OA，所以 AO 所表示的复数为 32i因为 BC=AO，所以 BC 所表示的复数为 32i（2） 因为 CA=OAOC，所以 CA 所表示的复数为 3+2i2+4i=52i（3） OB=OA+AB=OA+OC，所以 OB 所表示的复数为 3+2i+2+4i=1+6i，即 B 点对应的复数为 1+6i第7页（共7 页）