7.4 勾股定理的逆定理1

17.2勾股定理的逆定理教学目标:知识与技能：1解并能证明勾股定理的逆定理.2.理解原命题、理逆命题、逆定理的概念.3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.过程与方法：1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.情感态度与价值观：1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.教学重难点：【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.教学准备：【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.教学过程：一温故知新1. 勾股定理的内容2. 勾股定理的应用：在直角三角形中，由已知边的长求未知边的长。二新课讲解1趣味知识：同学们,你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗?古埃及人画直角的方法:把准备好的一根打了13个等距离结的绳子,然后按3个结,4个结,5个结的长度为边长,摆放成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗?学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问:“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.2.新知构建：勾股定理的逆定理思路一(1)归纳猜想：从古埃及人的画直角的方法,你有什么启发吗?提问:如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第个问题总结归纳,提出猜想:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.这三组数都满足a2+b2=c2吗?分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论:这三组数都满足a2+b2=c2;以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3. 概念认识：原命题、逆命题把勾股定理记为命题1,猜想的结论记为命题2.提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么?学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问:请同学们举出一些互逆命题,并思考:原命题正确,它的逆命题是否也正确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如:对顶角相等和相等的角是对顶角;两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问:在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:任何一个命题都有逆命题.原命题正确,逆命题不一定正确;原命题不正确,逆命题可能正确.原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.命题的真假性是各自独立的.4.勾股定理的逆定理的证明原命题正确,它的逆命题不一定正确,那么勾股定理的逆命题正确吗?如果你认为是正确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知:如图所示,ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证:C=90.追问:要证明ABC是直角三角形,只要证明C=90,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明ABC与一个以a,b为直角边长的RtABC全等.那么就证明了ABC是直角三角形,为此,可以先构造RtABC,使AC=b,BC=a,C=90,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明:如图所示,作直角三角形ABC,使C=90,BC=a,AC=b,由勾股定理得AB=c,AB=AB,BC=BC,AC=AC,ABCABC,C=C=90,ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.三.例题解析(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师帮助学生分析得到:要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较,只有相等时才是直角三角形.解:(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142152,所以这个三角形不是直角三角形.像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.小结：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:确定最大边长c;计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出:已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析:图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出RPQ的度数,而1=45,利用角的和差得出2的度数.解:根据题意,由已知得PQ=161.5=24,PR=121.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以QPR=90,由“远航”号沿东北方向航行可知1=45,所以2=QPR-1=45,即“海天”号沿西北方向航行.四师生共同回顾本节课所学主要内容:(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件:三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.