2023届大一轮复习 第28讲 正弦定理、余弦定理的应用（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第28讲 正弦定理、余弦定理的应用 一、选择题（共2小题）1. 在 ABC 中，AB=1，AC=3，ABAC=1，则 ABC 的面积为 A. 12B. 1C. 2D. 22 2. 已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，b=2，则 ABC 面积的最大值是 A. 1B. 3C. 2D. 4 二、选择题（共1小题）3. 下列命题中，正确的是 A. 在 ABC 中，若 AB，则 sinAsinBB. 在锐角三角形 ABC 中，不等式 sinAcosB 恒成立C. 在 ABC 中，若 acosA=bcosB，则 ABC 必是等腰直角三角形D. 在 ABC 中，若 B=60，b2=ac，则 ABC 必是等边三角形 三、填空题（共9小题）4. 在 ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 bsinAsinB+acos2B=2c，则 ac 的值为 5. 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得 BCD=30，BDC=120，CD=10m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB= m 6. 在 ABC 中，已知 C=120，sinB=2sinA，且 ABC 的面积为 23，则 AB 的长为 7. 已知 ABC 的面积为 315，且 ACAB=2，cosA=14，则 BC 的长为 8. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a=8b，A=2B，则 sinA4= 9. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinA+sinB=54sinC，且 ABC 的周长为 9，ABC 的面积为 3sinC，则 c= ，cosC= 10. 如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 3003m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得 PAB=90，PAQ=PBA=PBQ=60，则 P，Q 两点间的距离为 m 11. 如图，在 ABC 中，D 是 BC 上的一点已知 B=60，AD=2，AC=10，DC=2，则 AB= 12. 如图，在 ABC 中，AB=3，AC=2，BC=4，点 D 在边 BC 上，BAD=45，则 tanCAD 的值为 四、解答题（共14小题）13. 在 ac=3， csinA=3， c=3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在 ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinA=3sinB，C=6， ? 14. 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45 方向距 A 为 31 海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75 方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 103 海里/时的速度追截走私船此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间（注：62.449） 15. 如图，在某港口 A 处获悉，其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西 30 距港口 10 海里的 C 处，救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船（1）求接到救援命令时救援船距渔船的距离；（2）试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援?（已知 cos49=217） 16. 如图，在 ABC 中，已知点 D 在边 AB 上，AD=3DB，cosA=45，cosACB=513，BC=13（1）求 cosB 的值；（2）求 CD 的长 17. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，AD=1，BD=210，CAD=4，tanADC=2（1）求 CD 的长；（2）求 BCD 的面积 18. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB=13，AC=10，AD=5，CD=65，ABAC=50（1）求 cosBAC 的值；（2）求 sinCAD 的值；（3）求 BAD 的面积 19. 已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asin2B=2bsinA（1）求 B 的大小（2）若 cosC=55，求 sinAC 的值 20. 已知 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且 b2233bcsinA+c2=a2（1）求角 A 的大小（2）若 tanBtanC=3，且 a=2，求 ABC 的周长 21. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=3，c=2，B=45（1）求 sinC 的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADC=45，求 tanDAC 的值 22. 在 ABC 中，a=7，b=8，cosB=17（1）求 A（2）求 AC 边上的高 23. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA（1）求 B（2）若 ABC 为锐角三角形，且 c=1，求 ABC 面积的取值范围 24. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b+c=2a，3csinB=4asinC（1）求 cosB 的值（2）求 sin2B+6 的值 25. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值（2）若 sinAa=cosB2b，求 sinB+2 的值 26. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sinA+3cosA=0，a=27，b=2（1）求 c（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求 ABD 的面积答案1. C【解析】AB=1，AC=3，ABAC=ABACcosA=3cosA=1，所以 cosA=13，故 sinA=223，S=12ABACsinA=22. B【解析】由题意知 B=60，由余弦定理，2x6=2，故 ac=a2+c242ac4，有 ac4，故 SABC=12acsinB33. A， B， D【解析】对于A，在 ABC 中，由正弦定理可得 asinA=bsinB，所以 sinAsinBabAB，故A正确；对于B，在锐角三角形 ABC 中，A,B0,2，且 A+B2，则 2A2B0，所以 sinAsin2B=cosB，故B正确；对于C，在 ABC 中，由 acosA=bcosB，利用正弦定理可得 sin2A=sin2B，得到 2A=2B 或 2A=2B，故 A=B 或 A=2B，即 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在 ABC 中，若 B=60，b2=ac，由余弦定理可得，b2=a2+c22accosB，所以 ac=a2+c2ac，即 ac2=0，解得 a=c又 B=60，所以 ABC 必是等边三角形，故D正确4. 2【解析】由正弦定理得，sinBsinAsinB+sinAcos2B=2sinC，即 sinAsin2B+cos2B=2sinC，即 sinA=2sinC，再由正弦定理得，ac=sinAsinC=25. 30【解析】在 BCD 中，由正弦定理得 BC=sin120sin3010=103m在 RtABC 中，AB=BCtan60=30m6. 27【解析】设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c因为 sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a，因为 ABC 的面积为 23，所以 S=12absin120=32a2=23，解得 a=2，所以 b=4，则 AB=c=a2+b22abcosC=4+16224cos120=277. 8【解析】在 ABC 中，cosA=14，所以 sinA=1cos2A=154，由 SABC=12bcsinA=12bc154=315 得 bc=24，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=bc2+2bc2bccosA=22+48+12=64, 即 a=88. 17250【解析】因为 5a=8b，所以由正弦定理可得 5sinA=8sinB，即 sinA=85sinB，因为 A=2B，所以 sinA=sin2B=2sinBcosB，则 85sinB=2sinBcosB，因为 sinB0，所以 cosB=45，则 sinB=1cos2B=35，故 sinA=2425，因为 A=2B，所以 cosA=cos2B=2cos2B1=725，所以 sinA4=sinAcos4cosAsin4=172509. 4，14【解析】ABC 中，角 A，B，C，所对边分别是 a，b，c，已知 sinA+sinB=54sinC，则 a+b=5c4，且 ABC 的周长为 9，则：c+5c4=9，解得 c=4若 ABC 的面积等于 3sinC，则 12absinC=3sinC，整理得 ab=6，由于 a+b=5c4=5，故 a+b=5,ab=6, 解得 a=2,b=3 或 a=3,b=2, 所以 cosC=a2+b2c22ab=1410. 900【解析】由已知，得 QAB=PABPAQ=30又 PBA=PBQ=60，所以 AQB=30，所以 AB=BQ又 PB 为公共边，所以 PABPQB，所以 PQ=PA在 RtPAB 中，AP=ABtan60=900m，故 PQ=900m，所以 P，Q 两点间的距离为 900m11. 263【解析】在 ACD 中，因为 AD=2，AC=10，DC=2，所以 cosADC=2+410222=22，从而 ADC=135，所以 ADB=45在 ADB 中，ABsin45=2sin60，所以 AB=22232=26312. 8+157【解析】由余弦定理得 cosBAC=AB2+AC2BC22ABAC=14，所以 tanBAC=1cos2BAC1=15所以 tanCAD=tanBAC45=tanBACtan451+tanBACtan45=8+15713. 解法一：由 sinA=3sinB 可得：ab=3，不妨设 a=3m，b=mm0，则：c2=a2+b22abcosC=3m2+m223mm32=m2，即 c=m选择条件：据此可得 ac=3mm=3m2=3，所以 m=1，此时 c=m=1选择条件：据此可得：cosA=b2+c2a22bc=m2+m23m22m2=12，则：sinA=1122=32，此时：csinA=m32=3，则：c=m=23选择条件：可得 cb=mm=1，c=b，与条件 c=3b 矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：因为 sinA=3sinB，C=6，B=A+C，所以 sinA=3sinA+C=3sinA+6，sinA=3sinA+C=3sinA32+3cosA12，所以 sinA=3cosA，所以 tanA=3，所以 A=23，所以 B=C=6，若选，ac=3，因为 a=3b=3c，所以 3c2=3，所以 c=1；若选，csinA=3，则 3c2=3，c=23；若选，与条件 c=3b 矛盾14. 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获（在 D 点）走私船，则有 CD=103t（海里），BD=10t（海里）在 ABC 中，因为 AB=31 海里，AC=2 海里，BAC=45+75=120，根据余弦定理，可得 BC=312+222231cos120=6（海里）根据正弦定理，可得 sinABC=ACsin120BC=2326=22所以 ABC=45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而 CBD=90+30=120在 BCD 中，根据正弦定理，可得 sinBCD=BDsinCBDCD=10tsin120103t=12，所以 BCD=30，BDC=30，所以 BD=BC=6（海里），则有 10t=6，t=6100.245 小时 =14.7 分钟故缉私船沿北偏东 60 方向，需 14.7 分钟才能追上走私船15. （1） 由题意可知在三角形 ABC 中，AB=20，AC=10，CAB=120，因为 CB2=AB2+AC22ABACcosCAB=202+10222010cos120=700, 所以 BC=107所以接到救援命令时救援船距离渔船的距离为 107 海里（2） 三角形 ABC 中，AB=20，BC=107，CAB=120，由正弦定理得 ABsinACB=BCsinCAB，即 20sinACB=107sin120，所以 sinACB=217因为 cos49=sin41=217，所以 ACB=41，故救援船应沿北偏东 71 的方向救援16. （1） 在 ABC 中，cosA=45，A0,，所以 sinA=1cos2A=35同理可得，sinACB=1213所以 cosB=cosA+ACB=cosA+ACB=sinAsinACBcosAcosACB=35121345513=1665.（2） 在 ABC 中，由正弦定理得，AB=BCsinAsinACB=13351213=20又 AD=3DB，所以 DB=14AB=5在 BCD 中，由余弦定理得， CD=BD2+BC22BDBCcosB=52+13225131665=92.17. （1） 因为 tanADC=2，所以 sinADC=255，cosADC=55，所以 sinACD=sinADC4=sinADC+4=sinADCcos4+cosADCsin4=1010在 ADC 中，由正弦定理得 CD=ADsinDACsinACD=5（2） 因为 ADBC，所以 cosBCD=cosADC=55在 BDC 中，由余弦定理知 BD2=BC2+CD22BCCDcosBCD，得 BC22BC35=0，解得 BC=7所以 SBCD=1275sinBCD=1275255=718. （1） 因为 ABAC=ABACcosBAC，所以 cosBAC=ABACABAC=501310=513（2） 在 ADC 中，AC=10，AD=5，CD=65，由余弦定理，得 cosCAD=AC2+AD2CD22ACAD=102+526522105=35因为 CAD0,，所以 sinCAD=1cos2CAD=1352=45（3） 由（1）知，cosBAC=513因为 BAC0,，所以 sinBAC=1cos2BAC=15132=1213从而 sinBAC=sinBAC+CAD=sinBACcosCAD+cosBACsinCAD=121335+51345=5665. 所以 SBAD=12ABADsinBAD=121355665=2819. （1） 由正弦定理得：sinAsin2B=2sinBsinA，即 2sinAsinBcosB=2sinBsinA, 因为 A,B0,，所以 可化简为 cosB=22，所以 B=4（2） 由（1）知 cosB=22，可得 sinB=22，因为 cosC=550，C0,，所以 sinC=2550 cosA=cosB+C=cosB+C=cosBcosC+sinCsinB=2255+25522=1010. 因为 A0,，所以 sinA=31010， sinAC=sinAcosCsinCcosA=31010552551010=210.20. （1） 由余弦定理得 a2=b22bccosA+c2又 b2233bcsinA+c2=a2，所以 b22bccosA+c2=b2233bcsinA+c2，即 2bccosA=233bcsinA从而 sinA=3cosA，若 cosA=0，则 sinA=0，与 sin2A+cos2A=1 矛盾，所以 cosA0，所以 tanA=3又 A0,，所以 A=3（2） tanB+tanC1tanBtanC=tanB+C=tanA=tan23=3又 tanBtanC=3，所以 tanB+tanC=32=23，解得 tanB=tanC=3又 B,C0,，所以 B=C=3，又因为 A=3，所以 ABC 是正三角形由 a=2 得 ABC 的周长为 621. （1） 由余弦定理得 b2=a2+c22accosB=9+223222=5，所以 b=5由正弦定理得 csinC=bsinBsinC=csinBb=55（2） 由于 cosADC=45，ADC2, ，所以 sinADC=1cos2ADC=35 .由于 ADC2,，所以 C0,2，所以 cosC=1sin2C=255所以 sinDAC=sinDAC=sinADC+C=sinADCcosC+cosADCsinC=35255+4555=2525. 由于 DAC0,2，所以 cosDAC=1sin2DAC=11525所以 tanDAC=sinDACcosDAC=21122. （1） 在 ABC 中，因为 cosB=17，所以 B2,，所以 sinB=1cos2B=437由正弦定理得 asinA=bsinB7sinA=8437，所以 sinA=32因为 B2,，所以 A0,2，所以 A=3（2） 在 ABC 中， sinC=sinA+B=sinAcosB+sinBcosA=3217+12437=3314. 如图所示，在 ABC 中，因为 sinC=BC，所以 =BCsinC=73314=332，所以 AC 边上的高为 33223. （1） 由题设及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA因为 sinA0，所以 sinA+C2=sinB由 A+B+C=180，可得 sinA+C2=cosB2，故 cosB2=2sinB2cosB2因为 cosB20，故 sinB2=12，因此 B=60（2） 由题设及（1）知 ABC 的面积 SABC=34a由正弦定理得 a=csinAsinC=sin120CsinC=32tanC+12由于 ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90，由（1）知 A+C=120，所以 30C90，故 12a2，从而 38SABC0，所以 cosB=2sinB0，从而 cosB=255因此 sinB+2=cosB=25526. （1） 由已知可得 tanA=3，所以 A=23在 ABC 中，由余弦定理得 28=4+c24ccos23，即 c2+2c24=0解得 c=6（舍去），c=4（2） 由题设可得 CAD=2，所以 BAD=BACCAD=6故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 12ABADsin612ACAD=1又 ABC 的面积为 1242sinBAC=23，所以 ABD 的面积为 3第13页（共13 页）