第20题 正方体涂漆

第20题正方体涂漆 由n(n=2,3，）个单位正方体可以组成一个体积为nn的正方体(如图1，由53个单位正方体组成一个体积为55的正方体），将它的表面涂漆后，再把它分解成原来的单位正方体。问有多少个单位正方体三面涂漆?有多少个两面涂漆？有多少个一面涂漆？有多少个没有涂漆？ 分析:我们可以通过观察n=2，3，4,5，6的特例,编排数表，寻找模式。 从表201可以发现，对任一个(n=，3,4，)，面涂漆的单位正方体的个数都是8,而且这8个单位正方体恰好位于nn的正方体的顶点处。进一步观察,又将发现，2面涂漆的单位正方体都位于大正方体的12条棱处。对于n=3，每条棱上恰有1个，所以共有2个；对于=4，每条棱上恰有2个,所以共有2124个同样，面涂漆的单位正方体都位于大正方体的6个面上,而不在大正方体表面的单位正方体都没有涂漆。由以上规律，我们将很容易给出问题的解.解:因为只有在nn的正方体的8个顶点处的单位正方体才是面涂漆的，所以共有个单位正方体3面涂漆。因为只有在nnn的正方体的12条棱处且不在顶点处的单位正方体才是面涂漆的,所以共有2（n2）个单位正方体面涂漆.同样,面涂漆的单位正方体都位于n的正方体的个面上且不在12条棱处,所以共有6(n2）2 个单位正方体1面涂漆.余下的(n2)3个单位正方体都没有涂漆。 回顾：观察n=2,3，4，时，3面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列（表20-的第3列)，2面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列（表20的第4列)，1面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20的第5列)，0面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列（表201的第6列），我们发现，第1个数列，8,8，8是一个常数列，而第2个数列0,2，4,6，4,有什么性质呢？如果我们把这数列的每一项去减它右边的项。 0124-8 12 12 12 2 就得到一个新的数列12,12，1，12，它也是一个常数列。 如果我们把第3个数列，6,24，5，96，的每一项去减它右边的项,024546 6 18 3 4 得到一个新的数列6，18,30,4,再把这数列的每一项去减它右边的项，再次得到一个常数列,12,12，. 给定一个数列n=a0，a1，a2，,n,我们把bn+1an叫做数列an的差分,把数列n=a10，2-a,，na-1，叫做n的一阶差分数列，把数列b的一阶差分数列b2-b1，b3-,，n1-n，叫做n的二阶差分数列，再把n的二阶差分数列的一阶差分数列叫做的三阶差分数列,依次类推. 有了差分数列的概念后，再看上述问题所得到的4个数列，就会发现这样的规律： 第2个数列0，12，24，36，48，,2(n-2),的一阶差分数列2，1，12，是非零的常数列，它的通项12(n-2)为的1次多项式；第3个数列0,6，24， 54， 9， 6(n-2）,的二阶差分数列也是非零的常数列,它的通项6（n)2为n的次多项式；对于第4个数列0， 1， ， 27,64， 125， 21,(n2)3，, 它的通项(-2）3为的3次多项式,那么是否它的三阶差分数是一个非零的常数列呢？可以看到，第4个数列的三阶差分数列是一个非零的常数列.一般地，数列的k阶差分数列为非零的常数列的充要条件是它的通项a为n的次多项式. 利用上述结果,我们可以从一个数列的前若干项来猜测它的通项。因为数列n的通项an不一定是的k次多项式，而用计算差分所猜测的通项只能是n的多项式,所以对猜测的结果必须加以证明。例如，我们从上述的第个数列的前项0，1,8，7,6,125，1，发现它的三阶差分数列是一个非零常数列6，6，6。于是,我们立即可以猜测它的通项是n的次多项式，设为a=an+bn+cnd 这样就可以用待定系数法求出a,b,c,d,因为 23a22b2c+d=0 a3=33a+32b+3c+=1 4=43a424cd8 532b+5cd=27所以由解上述方程组可得=1，b=6,=12，d=8 于是，我们从表20-1的前若干项，用差分的方法，可以猜测第4个数列的通项为nn36nn-=(n-2）3 因此，可以猜测,一个表面涂漆的体积为nnn的正方体中有（n-2）3个单位正方体没有涂漆。同样，据观察n=2,3,4,5,的特例,直接利用差分方法，可以猜测,2面涂漆的有2（n-）个,1面涂漆的有6（n-2）2个。 根据一个数列an的前若干项,利用差分方法，猜测它的通项。在通项恰是n的多项式时，这确是一个有效的方法。因为从所猜测的结果可以受到某些启示，帮助我们最终解决问题.下面我们再来讨论一个问题： 顺次计算数列12,12+2,12+2+32，1222，12+3242+2,122+3+4+262，的前项的值,由此猜测an=2+2+ 求和的结果。根据12=1，12=5，122232=14，2+2+3+42 =30，12+2+342+2=55,12232+425262=9，计算数列1,5,1，30，5，91，的差分 由于三阶差分数列是非零的常数列,所以猜测an是n的次多项式an3+bn2c+d,利用待定系数法,还可进一步求出a，b，的值： 解四元一次方程组得 因此,可以猜测 即 有了上式的猜测,如果我们学过数学归纳法，就可以用数学归纳法证明()式对任何的自然数都成立.注:差分是“计算方法”（数学的一个分支)中的一个重要概念，而计算方法所研究的数学问题的求解算法是与计算机密切相关的。虽然差分非常有用，但这里就不再进一步介绍了。练习20 用差分方法从给定数列a的前6项4，1，31,4,69， 猜测它的通项（an. 2计算凸n边形当n=3,4,5,6，7时的对角线条数,用差分方法猜测凸n边形的对角线条数n。3. 上表中r(n）表示将写成若干个数字1和2之和的方式的个数(不考虑和式中各数的前后次序)。例如，4=1+11+1=12=2， 所以r（4)=3，其中2,1+21,21+1都是同一种方式。 (1)计算(6)，r(7）和（8)；(2)猜测(）的公式,并给予证明。不足之处，敬请谅解7 / 7