空气动力学课件第二章

Folie1第第 2 2 章章 流体运动学和动力学基础流体运动学和动力学基础2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法2.1.1 两种描述方法2.1.2 欧拉法的加速度表达式2.1.3 流线、流管、流面与流量2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2.3 2.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程组组2.3.1 连续方程2.3.2 Euler运动微分方程组2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义2.3.4 Bernoulli方程的应用2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程2.4.1 Lagrange2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程2.4.2 Reynolds2.4.2 Reynolds输运方程输运方程2.4.3 Euler2.4.3 Euler型积分方程型积分方程2.5 2.5 环量与涡环量与涡2.5.1 2.5.1 环量与涡的概念环量与涡的概念2.5.2 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系2.5.3 2.5.3 涡的诱导速度涡的诱导速度2.5.3 2.5.3 理想流中的涡定理理想流中的涡定理2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）Lagrange(1736-1813)，法国数学家、物理学家，分析力学的创始人，曾被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔”。在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（迹线的概念）描述刚体运动常用的方法描述刚体运动常用的方法漂流瓶漂流瓶x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c为流体质点的标识符流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，可理解为某个时刻质点某个时刻质点存在的空间位置坐标存在的空间位置坐标。t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。x xy yz ztzyx,(a,b,c)(a,b,c)2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法质点法质点法观察者着眼于个别流体质点，观察者着眼于个别流体质点，所获取的第一手资料是流体质点的轨迹所获取的第一手资料是流体质点的轨迹2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法对于给定流体质点，速度表达式是对于给定流体质点，速度表达式是流体质点的加速度为流体质点的加速度为ttcbazwttcbayvttcbaxu),(,),(,),(222222),(,),(,),(ttcbazattcbayattcbaxazyx2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法流体质点的其它物理量也都是流体质点的其它物理量也都是a,b,c,ta,b,c,t的函数。的函数。迹线方程为迹线方程为dtwdzvdyudx2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）Euler(1707-1783)，瑞士数学家、物理学家，提出变分原理，建立了理想流体运动方程。在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。（引出流线概念）2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法漂流瓶漂流瓶-水位测量水位测量 2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 欧拉Leonhard Euler（17071783年）瑞士数学家.欧拉是世界史上最伟大的数学家之一.他从19岁就开始著书，直到76岁高龄仍继续写作.几乎每个数学领域，都可以看到欧拉的名字.如初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论中欧拉常数、变分学的欧拉方程、复变函数论欧拉公式等。1755年欧拉建立了理想不可压理想不可压流体运动的微分方程组（欧拉方程欧拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无旋运动所满足的动力学条件，提出求解这类运动的复位势法（第三章内容）。其中，x,y,z为空间点的坐标。t表示时间。x.y.z.t称为欧拉变数欧拉变数。x.y.z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t给定，x.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。),(V ),(),(tzyxwkwj vi utzyxvtzyxu2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该空间恰好占据该空间点点的流体质点所具有的速度。一个布满了某种物理量的空间称为场。流体流动所占据的空间称为流场。如果物理量是速度，描述的是速度场。如果是压强，称为压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数 如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场定常场,否则为非定常场非定常场。对于定常速度场的表达为：),(zyxuu 一个速度场一个速度场2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 参看下图，第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示流体质点从A流到B点，因水位下降引起速度减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在t时刻位于流场中M点，经过微分时段位于N点，根据加速度定义有2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式ttMVtNVttNVttNVdtVdttMVttNVtVdtVdatttt),(),(lim ),(),(lim),(),(limlim0000当地随时间的变化，非定常性当地随时间的变化，非定常性当时随空间的变化，非均匀性当时随空间的变化，非均匀性 根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为)(),(),(),(2tOtttNVtNVttNVtVttMVttOtttNVttNVttNVtt),()(),(lim),(),(lim2002.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式由于流场不均匀性引起的速度变化为),.,(),(),(),(),(),(),.,(),(),(),(),(),(),(22xOzztMVyytMVxxtMVtMVtNVxOzztzyxVyytzyxVxxtzyxVtzyxVtzzyyxxVtNV2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式M点为点为(x,y,z)，N点为点为(x+x,y+y,z+z)由于流场不均匀性引起的速度变化为ztMVwytMVvxtMVuztMVtzytMVtyxtMVtxtxOzztMVyytMVxxtMVttMVtNVttttt),(),(),(),(lim),(lim),(lim),.,(),(),(),(lim),(),(lim0002002.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式综合起来，得到流体质点的全加速度全加速度为VVtVdtVdazVwyVvxVutVdtVda)(2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式kzjyix哈密顿算子：哈密顿算子：等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度局部加速度，或当地加速度当地加速度；右边第2项表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度迁移加速度，位变加速度，或对流加速度对流加速度。二者的合成称为全加速度全加速度，或随体随体加速度加速度。写成分量形式为2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式duuuuuuvwdttxyzdvvvvvuvwdttxyzdwwwwwuvwdttxyzVVtVdtVdazVwyVvxVutVdtVda)(算子表示随流体质点运动的导数，称随体导数随体导数。除速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强p，有zwyvxutdtddpppppuvwdttxyz2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式如果流动参数是一维空间流程坐标 s和时间 t的函数，速度场为v（s,t）。则全加速度表示为：svvtvDtDvasvs2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时，便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任何一点的切线方向均与占据任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲线称为流线流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条这样的流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量时间时间 t 固定固定 由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致，则流线上的切线方向的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量与合速度组成的三个方向余弦相同。表示为微分的关系是Vdswdzvdyudx称为称为流线微分方程流线微分方程2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量在拉格朗日体系下的迹线方程：在拉格朗日体系下的迹线方程：dtwdzvdyudx（欧拉体系下）（欧拉体系下）流线是反映流场瞬时流速方向瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：（1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。（虚拟边界）（虚拟边界）2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 （3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一 时刻，一点处只能通过一条流线。（4）在奇点和零速度点例外。2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 与流线密切相关的，是流管和流面两个概念。流管流管是由一系列相邻的流线围成。在三维流动里，经过一条有流量穿过的封闭曲线的所有流线围成封闭管状曲面称为流管。2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。流面流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面。2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量流量流量是单位时间内穿过指定截面指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量体积流量、质量流量质量流量和重量流量重量流量可分别表为dAnVmA)(dAnVQA)(dAnVgGA)(其中，其中，是局部速度向量，是局部速度向量，是密度，是密度，是微元面积是微元面积 的法线向量的法线向量VndA2.1.3 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：（1）质点运动（无体积大小的空间点）只有平移运动（平动）；（2）刚体运动（刚体具有一定体积大小，但无变形无变形）除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在流体力学中，研究对象是质点质点和不断变化形状与大小的变形体变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩边长伸缩线变形线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动（2）转动（3）线变形运动（4）角变形运动 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式平动平动转动（角平分线转动）转动（角平分线转动）线变形运动线变形运动角变形运动（角平分线不动）角变形运动（角平分线不动）2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据泰勒级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。（u,v,w）（2）线变形速率线变形速率 线变形运动是指微元体各边 长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位 时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为txxutuxxuuAB)(2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式由此得到x方向的线变形速率(单位时间、单位长度单位时间、单位长度)为同理，在y方向的线变形速率为xuxtABtx)(lim0yvytACty)(lim0 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式平面微团的面积变化率为yxtyvxutyxtyxyvxutyxyvxutyxyxtyyvytxxuxtyxACABVdiv20t0t0limlimlim )(div 散度 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式（3 3）角变形速率与旋转角速度）角变形速率与旋转角速度 在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）txvxtvxxvvxBB1 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式在微分时间内，AC边的偏转角度为（顺时针为负）tyuytuyyuuyCC2 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 平面微团夹角的总变化量平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线角平分线的转动部分的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分纯角变形部分。如图所示。2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为，边线的纯角变形量为，则由几何关系可得解出可得21 2 22121 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式定义，平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为yuxvttz21lim0yuxvttz21lim0注意负号和注意负号和1/2 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。流体微团平动速度：),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu 2.2.1 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式流体微团线变形速率：流体微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团旋转角速度：zwyvxuzyx ,yuxvxwzuzvywzyx21,21,21yuxvxwzuzvywzyx21,21,21 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 德国物理学家 HelmholtzHelmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。在 速度为),(0tzyxM(,)(,)(,)u x y z tv x y z tw x y z t 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理在 点处，速度为),(1tzzyyxxM),(),(),(tzzyyxxwtzzyyxxvtzzyyxxu 2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理按泰勒级数展开有zyxxytzyxwzzwyywxxwtzyxwtzzyyxxwzyxzxtzyxvzzvyyvxxvtzyxvtzzyyxxvzyxyztzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzxyyxxyzxzyzxzy)(),(),(),()(),(),(),()(),(),(),(式中第一项和式中第一项和M0点的速度相同，是微团的整体移动速度。第二、点的速度相同，是微团的整体移动速度。第二、三项是角速度；第四项是线变形率；第五、六项是角变形率三项是角速度；第四项是线变形率；第五、六项是角变形率。说。说明微团运动同时包含平动，转动和变形（线变形和角变形）明微团运动同时包含平动，转动和变形（线变形和角变形）。微团运动平动线变形（拉伸）角变形角速度（转动）2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理zyxxytzyxwzzwyywxxwtzyxwtzzyyxxwzyxzxtzyxvzzvyyvxxvtzyxvtzzyyxxvzyxyztzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzxyyxxyzxzyzxzy)(),(),(),()(),(),(),()(),(),(),(2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 应指出的是，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如，（1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。（2）无旋流动无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。（3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平 动和转动，但无变形运动。2.2.2 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理 应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同在不同点处点处微团的旋转角速度不同不同。2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义回顾：二维情况下，平面微团的面积变化率三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度散度，符号为divV，即zwyvxuVVdiv散度在流体力学里表示流体微团的散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀相对体积膨胀率率（单位时间单位体积的增长量）。（单位时间单位体积的增长量）。散度可以看成是哈密顿算子和速度的向量点乘散度可以看成是哈密顿算子和速度的向量点乘 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是x,y,z，原来体积是（xyz），经过t时间后三个边长分别变为：xtxux1ytyvy1ztzwz1 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为：VzwyvxuzyxztzwytyvxtxutzyxVdivt 1111lim0 2.2.3 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 质量守恒：流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变密度不变的不可压不可压流动流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零速度的散度必为零。0zwyvxuVVdiv 如果是密度有变化的流动，那么散度一般地如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。不等于零。2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数业已知道，流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为x，y，x，合角速度可用矢量表示为这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。VVrotkjizyx2121旋度可以看成是哈密顿算子和速度的向量叉乘的二分之一旋度可以看成是哈密顿算子和速度的向量叉乘的二分之一xyzxyzkzjyix 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数一个流场，如果各处的都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动称为无旋流无旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流有旋流。根据数学上Stokes定律ALAdVrotrdV如果是无旋流场，那么其旋度为零，由此得到如果是无旋流场，那么其旋度为零，由此得到 说明此时说明此时速度场的曲线积分与路径无关速度场的曲线积分与路径无关，仅是坐，仅是坐标位置的函数。标位置的函数。0LrdV在数学分析里，上式是在数学分析里，上式是式成为全微分的必要和充分条件 wdzvdyudx之所以提出无旋场的概念，是因为无旋场在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个 的限制条件。这个条件可以写为：;xvyu;ywzvzuxw0,0,0zyx02.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数上式中这个函数称为速度势函数速度势函数或速度位速度位，其存在存在的充分必要条件是无旋流动的充分必要条件是无旋流动。在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即L0 LdrdVwdzvdyudxrdVd021Vrot 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即速度势函数与速度分量的关系为说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个方向的分量。),(tzyxzwyvxu 类比彻体力的势函数类比彻体力的势函数sdsdzzdsdyydsdxxszwsyvsxuvs),cos(),cos(),cos(SxyzuVvwvs 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 一个无旋流场一旦知道了它的位函数 的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。对于无旋场而言，问题由求解具有三个分量的速度场，变为问题由求解具有三个分量的速度场，变为求解一个位函数求解一个位函数 位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流，沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分，结果只与二端点的值之差有关而与积分路径无关。即：ABBABAdwdzvdyudx)(,)x y z 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数例2.1 设有一个二维流场其速度分布的式子是 ,问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？变形率的是什么？解：流体微团绕解：流体微团绕z z轴的旋转角速度为轴的旋转角速度为流动无旋，存在速度势函数。流动无旋，存在速度势函数。流线方程为流线方程为vdyudx0002121yuxvzayvaxu2,2aydyaxdxvdyudxd22)(22yxa 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数积分得积分得Cxy 常数常数C C取一系列的值画得一系列的流线，见下图。取一系列的值画得一系列的流线，见下图。流体微团线变形率：流体微团线变形率：0yxVdivayvaxux2 2y角变形率：角变形率：021yuxvz 2.2.4 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；由于相对体积膨胀率为零，x方向线段有缩短，y方向线段必有拉伸，流动过程中矩形微团面积保持不变；流体微团无角变形。ABCDABCDDCABxy0 2.3 2.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程连续方程是质量守恒定律质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。2.3.12.3.1 连续方程1.选取一个形状为六面体的微元做为控制体控制体2.假设六面体中心点坐标为（x，y，z）。在 t 时，过中心点流体微团的三个分速是u，v，w，密度是。在t瞬时，过该点处通过垂直于x轴单位面积的流体流量为u（又称为密度密度流流），如果把这个量看作为空间和时间的函数，则根据泰勒级数展开，在dt时段内，从ABCD面进入进入的流体质量为：xzyABCDABCDdydzdtdxxuum2)(1质量流量的定义？质量流量的定义？2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程3.在dt时段内，从ABCD面流出流出的流体质量为4.在dt时段内，由x面储存在在微分六面体的流体质量为（净流入量）dydzdtdxxuum2)(2dxdydzdtxudydzdtdxxuudydzdtdxxuummmx)(2)(2)(21 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程 5.同理可得，在dt时段内，由y,z面储存在微分六面体的流体质量为 6.由此可得，在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为)()(dxdydzdtzwmdxdydzdtyvmzy )()()(dxdydzdtzwyvxummmmzyx 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程7.由于是空间位置和时间的函数，在dt时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为8.根据质量守恒定律，在dt时段内从侧面净流入微分六面体的总质量应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量。dxdydzdttdxdydzdxdydzdttmtdxdydzdt )()()(tdxdydzdtzwyvxummt即即 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程。即:000)(0)()()(VdtdzwyvxuzwyvxutVtzwyvxut 2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程连续方程连续方程 的物理意义是：的物理意义是：流体微元控制体密度的局部增长率 与微元控制体单位体积流出的质量流量 ，之和等于零。t)(V 等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，因为有高斯公式：因为有高斯公式：)(VdsnVv)(lim)(0（显然当密度不变时，可将散度（显然当密度不变时，可将散度 看成单位体积流出的看成单位体积流出的体积流量）体积流量）VVdiv000)(0)()()(VdtdzwyvxuzwyvxutVtzwyvxutAdAVndV)()(2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程对于对于不可压缩流体不可压缩流体，连续方程变为，连续方程变为0 xu 0 0zwyvVdtd不可压连续方程不可压连续方程 的物理意义是：的物理意义是：不可压缩流动流体微元的不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。0 V1.1.不可压不可压 指的是每个质点的密度在流动过程中指的是每个质点的密度在流动过程中保持不保持不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如变密度平行流动。，例如变密度平行流动。0 xu 0 0zwyvVdtd不可压、均值与密度为常数的关系*2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程2.而均值流体的定义是0，即密度在空间上处处均匀，但不能保证随时间不变化。3.只有既为不可压缩流体，同时又是均值时，流体的密度才处处都是同一个常数。由不可压条件得到 ，由均值流体条件得到 0dtd0从而有从而有 。于是。于是 =C=C，即流体密度既不随时间变化，也不随位置，即流体密度既不随时间变化，也不随位置发生迁移变化，在整个流场中是个常数。发生迁移变化，在整个流场中是个常数。4.4.反过来，反过来，=C 的流体必然满足不可压条件的流体必然满足不可压条件 ，是不可压流体。，是不可压流体。)(Vtzwyvxutdtd0t0dtd2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程例：设不可压缩流体在例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿平面内流动，速度沿 x 轴方向的分量轴方向的分量 u=Ax(A 为常数为常数)，求速度在，求速度在 y 轴方向的分量轴方向的分量 v。解：对于不可压缩流动，密度的随体导数解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 由微分形式连续方由微分形式连续方程：程：0yvxuAxAxxuyv2.3.1 2.3.1 连续方程连续方程)()(xfAyxfAdyv0dtd如果流动非定常，上式中函数如果流动非定常，上式中函数 f(x)则应为则应为 f(x，t)。而函数。而函数 f(.)的形式的形式可任取。因此可任取。因此 v 有无穷多个解。如果设有无穷多个解。如果设 v 在在 x 轴上的分布为轴上的分布为0 即即 f(x)0，则：，则：Ayv 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。在流场中划出一块三边分别的为在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的的微元矩形六面体的流体微团来看，不计粘性力，表流体微团来看，不计粘性力，表面力面力没有切向力，仅有法向力，仅有法向力（压力）一种。（压力）一种。xyzPdxdydz 设六面体中心点坐标为(x,y,z)，相应该点处的流体要素为:1)压强压强p(x,y,z,t)2)单位彻体力单位彻体力fx fy fz 3)速度速度u,v,w 4)密度密度。*暂不考虑温度在微元体的左面，压力为在微元体的右面，压力为2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组xyzPdxdydz2dxxpp2dxxppdydzdxxpp2dydzdxxpp2微元六面体质量力在微元六面体质量力在x方向的分力为方向的分力为xdxdydzf根据牛顿定律：根据牛顿定律：x 方向合外力等于质量乘以方向合外力等于质量乘以x方方向加速度，得向加速度，得dxdydzdtdudxdydzfdydzdxxppdydzdxxppx22 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组两边同除以微元体积两边同除以微元体积 的质量的质量 dxdydz，取极限得到取极限得到x方向的运动方程。为：方向的运动方程。为：请注意，这里写成全加速度形式，是因请注意，这里写成全加速度形式，是因为在上述分析过程中，在微分时段内跟为在上述分析过程中，在微分时段内跟随流体微团建立的。或者可表示为：随流体微团建立的。或者可表示为：xpfdtdux1xpfzuwyuvxuutux1同理可得其它两个方向的运动方同理可得其它两个方向的运动方程。综合起来，有程。综合起来，有zpfdtdwypfdtdvxpfdtduzyx111pfdtVd1 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组上三式即为上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（17551755年，欧拉）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力年，欧拉）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另一种形式，为：梯度。写成另一种形式，为：zpfzwwywvxwutwypfzvwyvvxvutvxpfzuwyuvxuutuzyx111矢量形式矢量形式pfVVtV1)(欧拉方程规定了理想流的欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。我们不妨把速度的变化和彻体力的存在看作是。我们不妨把速度的变化和彻体力的存在看作是压强之所以有变化的原因压强之所以有变化的原因，这两个使压强起变化的因素是彼，这两个使压强起变化的因素是彼此独立的，对于压强的作用是分开来计算的此独立的，对于压强的作用是分开来计算的。对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很容易证明对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很容易证明欧拉方程为：欧拉方程为：sVVtVspfs1sV2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组如果把加速度项重新组合，把加速度的迁移部分改如果把加速度项重新组合，把加速度的迁移部分改写，把角速度配成显式，这样的方程称为写，把角速度配成显式，这样的方程称为格罗米柯-兰姆型方程。如。如x方向的方程，有方向的方程，有 2222zyuuuuvwxyzuvwvuuwuvwvwxxxxyzxVvwx 2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组由此可得由此可得“格罗米柯形式格罗米柯形式”为为)(2)2(1)(2)2(1)(2)2(1222xyzzxyyzxvuVztwzpfuwVytvypfwvVxtuxpf写成矢量形式为写成矢量形式为VtVVpf2212 这个方程本质上仍是在理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度项。便于分析无旋流动。对于理想流体，可以无旋运动也可以有旋运动。只是对于理想流体，微团在运动过程中不会受到切向力的作用，因而流体微团在运动过程中不会改变它的旋度，如原来旋度为零的（即无旋流）在运动过程也保持无旋流；原来有旋的，继续保持为有旋流，且其旋度不变。2.3.2 Euler2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组对于对于理想正压流体理想正压流体，在，在质量力有势质量力有势条件下，假设为条件下，假设为定常流动定常流动，有：，有：0 ;p;1 ,1 tVfdpVVVV2)2(2222这样格罗米柯方程变为：这样格罗米柯方程变为：现在流场中，任取一条光滑曲线现在流场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投影到曲线上，有：，并将上式投影到曲线上，有：dSSdSdSdzzdSdyydSdxxdzzdyydxxSd)(注：sdVdsVs222VtVVpf2212 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义 这就是Bernoulli积分，或伯努利方程。上式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能势能、压能压能和动能动能之和不变，即总机械能不变。（1738年,Bernoulli）2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义)(2 0222sCVVs这样在曲线上，下式成立：这样在曲线上，下式成立：sdVdsVs222如果上式右边项为零，有，有0sdV 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义BernoulliBernoulli积分成立的条件，是积分成立的条件，是（1 1）沿着任意一条流线，）沿着任意一条流线，BernoulliBernoulli积分成立。积分成立。这是因为，在此情况下这是因为，在此情况下0sdV0sdV VV /Vsd（2 2）沿着任意一条）沿着任意一条涡线，BernoulliBernoulli积分成立。积分成立。这是因为，在此情况下这是因为，在此情况下0sdV V /sd （3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关，在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。(a)静止流场，(b)无旋流场，有势流动,(c)流线与涡线重合，即螺旋流动,2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义0V0V0/V注意注意Bernouli方程的适用范围方程的适用范围 对于不可压缩流体，在不计质量力情况下，Bernoulli积分 变为：如果质量力只有重力，Bernoulli积分变为 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义)(22sCVp)(22sCVpgy)(2 0222sCVVs如果两边同除以如果两边同除以g g，最后得到的能量方程形式为，最后得到的能量方程形式为上式表示不可压缩流体，在质量力为重力作用下的能量方程。上式表示不可压缩流体，在质量力为重力作用下的能量方程。表明：单位重量流体所具有的势能、压能和动能之和不变。表明：单位重量流体所具有的势能、压能和动能之和不变。)(22sHgVpy 2.3.3 Bernoulli 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义y-表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头；表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头；p/-表示单位重量流体在绝对真空管中上升的高度，称为压表示单位重量流体在绝对真空管中上升的高度，称为压强水头；强水头；V2/2g-表示单位重量流体垂直上抛所能达到高度，称为速度表示单位重量流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头；水头；H-表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。y11p2py2gv221gv222H1H2静力水头线静力水头线总水头线总水头线12yx与静力学中的与静力学中的平衡液体基本方程进行对比进行对比)(常数Hyp 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用例例.求如图光滑容器中小孔的出流速度求如图光滑容器中小孔的出流速度 v v，假设小，假设小孔中心距自由面深为孔中心距自由面深为 h h解解.由于是小孔出流，因此自由面由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度的水位下降速度v0 v0 与小孔的出流与小孔的出流速度相比可以忽略不计，流动可以速度相比可以忽略不计，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。假设是定常的。假设不计粘性损失。沿小孔中心点处一根流线列伯努利沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度可以近似代表小孔速度vhpapa 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用2002vpghpaaghv2此式也可是将流动看成是一维流动的结果，从而此式也可是将流动看成是一维流动的结果，从而（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值述理论值,有：有：，其中，其中cv叫做速度系数，叫做速度系数，实验表明实验表明cv 0.970.97）ghcvv2 测量低速气流的速度时，用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图。2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用)2 )2(0s20sp(p VgypgVygp 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压相应的压强达到了总压p p0 0 ，而静压空处感受到，而静压空处感受到的是静压。测量时不必分开量总压和静压，只的是静压。测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根要把二者接在一根U U形测压计的两支上，看二形测压计的两支上，看二者的差（者的差（p p0 0-p-p）就行了。）就行了。1.05-0.98 )(20sppV 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用例例.在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压匀流的静压p=pp=p101200101200牛牛/米米2 2，流速，流速=100=100米米/秒。秒。已知已知A A，B B，C C三点的速度分别是三点的速度分别是V VA A=0=0，V VB B=150=150米米/秒，秒，V VC C=50=50米米/秒，空气在海平面的秒，空气在海平面的=1.255=1.255千克千克/米米3 3 。假设流动无旋，求假设流动无旋，求A A、B B、C C三点的压强三点的压强直匀流对机翼的绕流直匀流对机翼的绕流 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用解解:流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据远前方的条件得据远前方的条件得这就是通用于全流场的常数。于是这就是通用于全流场的常数。于是220/107325)100(2225.1101200米牛p220220220/10579415311073252/93825225006125.01073252/1073252米牛米牛米牛CCBBAAvppvppvpp 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用例例 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其正比于半径正比于半径r，即，即=kr，如图。试证伯努利常数，如图。试证伯努利常数C是是r的函数。的函数。证证:先沿着流线写出伯努利方程先沿着流线写出伯努利方程 对半径取导数：对半径取导数：22vpCrvvrprCdPPrr一种旋转流动一种旋转流动 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用法向压力差必须平衡微团的离心力，故有法向压力差必须平衡微团的离心力，故有 左侧的第二项是左侧的第二项是ADAD面和面和BCBC面上的压力在面上的压力在 r r向的投影。向的投影。略去微量的高次项，得略去微量的高次项，得代入代入Cr的式子，并将的式子，并将vkr代入，得代入，得drddrrrrvprddrdrrdrrpppddrrdrrpp)2()(21)(2rvrp222Ck rr 2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用如果速度场是如果速度场是rKv 试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。0rvvrprCBernouli方程的积分常数，方程的积分常数，在什么情况下在整个流场范围内不变？在什么情况下在整个流场范围内不变？2.3.4 Bernoulli 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用 该流场实际上是一个无旋流场，能量方程该流场实际上是一个无旋流场，能量方程积分常数不变。积分常数不变。0)()(221 2222222222z2222yxxyyxxyKyuxvyxxKvyxyKurKv 对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡核外的诱导流场。在涡核内流体质点像刚体一样核外的诱导流场。在涡核内流体质点像刚体一样绕涡轴旋转，其周向速度与绕涡轴旋转，其周向速度与r r成正比，在涡核外成正比，在涡核外的诱导流场是无旋运动，其周向速度与的诱导流场是无旋运动，其周向速度与r r成反比。成反比。2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程2.4.1 基本概念 流体动力学是研究产生流体运动的原因。为流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题：此，我们必须解决三个方面的问题：（1 1）流体的运动学问题；（）流体的运动学问题；（2 2）作用于流体上）作用于流体上各种力的特征；（各种力的特征；（3 3）控制流体运动的普遍规律）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量（质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量矩守恒、能量守恒等）矩守恒、能量守恒等）流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程，如果关系式是以积分形式给出，称为流体动力学积分方程，如果是以微分形式给出，称为微分方程。在流体动力学积分方程中，具体包括：（1）连续方程；（2）动量方程；（3）动量矩方程；（4）能量方程 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 1、系统(System)定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。系统的基本特点 （1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的交换；（3）在系统的边界上受到外界的表面力；（4）在系统的边界上存在能量的交换。2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 例如，例如，F=maF=ma，F F指作用于系统上所有外力的合指作用于系统上所有外力的合力。力。a a指系统的平均加速度。系统对应于指系统的平均加速度。系统对应于LagrangeLagrange观点，即以确定的流体质点系统作为研究对象，研观点，即以确定的流体质点系统作为研究对象，研究系统各物理量的关系。究系统各物理量的关系。2 2、控制体（、控制体（Control VolumeControl Volume）定义：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，定义：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体的基本特点体质点随时间是变化的。控制体的基本特点 （1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的；（2）在控制面上可以发生质量交换，即流体可以流进、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力；（4）在控制面上存在能量的交换。例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点，即以通过确定的体积流体质点作为研究对象，研究控制体内流体各物理量的关系。2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程 现任取一体积，边界表面积为现任取一体积，边界表面积为S0S0的确定系统的确定系统作为考察对象。作为考察对象。（1 1）连续方程（质量守恒）连续方程（质量守恒）00ddtddtdM表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。量不随时间变化。2.4.1 Lagrange 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程（2 2）动量方程）动量方程 00000SndSpdfFdVdtddtKd表示：系统的动量对时间的变化率