2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （3分）已知R是实数集，集合A=-1,0,1,B=xl2x-1M0,则AH0）的焦点，抛物线C上动点A,B满足石二4兀，若A,B的准线上的射影分别为M,N且AMTN的面积为5,则ABI=（）A2B蔓C里D竺444411（3分）若存在两个正实数x,y使得等式x（1+lnx）=xlny-ay成立（其中lnx,Iny是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）ABCDg,J已312.（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，ZDAB=60,沿BD将AABD翻折，得到三棱锥A-BCD，贝卩当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）13（3分）已知：二2），匚二k），若（呂+2b）/（3呂-b），则k=14（3分）在的展开式中，X4的系数为2k丿15（3分）已知函数f&）汝丄诗十“说若对任意实数兀，恒有f（叩今（x）Wf（a2）,则cos（a1-a2）=16（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandetin双球”；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O,球O2的半径分别为3和1,球心距离OO=8,截面分别与球Op球O2切于点E,F,（E,F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列a/满足a1=1,an=2an_1+2n-1(nM2),数列打满足bn=an+2n+3(I) 求证数列bn是等比数列；(II) 求数列a/的前n项和Sn18在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.(I)填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200(II)从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X,若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.附：，其中n=a+b+c+d临(a+bJCc-Fc)ta+c)(b+d)P(Qk0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819已知：在四棱锥P-ABCD中，ADBC,魅二bc二Cx|ad，G是PB的中点，是等边三角形，平面PAD丄平面ABCD(I) 求证：CD丄平面GAC；(II) 求二面角P-AG-C的余弦值.2220已知直线l经过椭圆CsJ+iCabc)的右焦点(1，0),交椭圆C于点A,B,a2b2点F为椭圆C的左焦点，0恒成立，求实数a的取值范围.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a为参数，a曰0,n)在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为p2第5页(共23页)(1+3sin20)=4.(1) 求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2) 若直线l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A,，求20的面积的最大值.选修4-5：不等式选讲23设f(x)=3X-11+lx+ll的最小值为k(1) 求实数k的值；(2) 设m,nWR,mH0,m2+4n2=k，求证：丄+22,H?2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （3分）已知R是实数集，集合A=-1,0,1,B=xl2r-1M0，则AnCRB）=（）A寺）B.寺，iC1D-1,0【解答】解：因为，所以CrB=xXV*又A=-1,0,1,所以An（CRB）=-1,0故选：D2. （3分）已知i是实数集，复数z满足z+zi=3+i，贝愎数z的共轭复数为（）A1+2iB1-2iC2+iD2-i【解答】解：z+zi=3+i可化为=2-il+i2的共轭复数为z=2+i,故选：C3（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x=-1,则输出的y=（）A丄B3C丄D竺441616【解答】解：输入x=-1,尸寺況（_曲今，|如二卜诗|冷1不成立，；，成立，跳出循环，输出K4y441161y11416116y16故选：D4（3分）已知Sn是等差数列叫的前n项和，若兔+喝也3=4，$6=10，则a3=C）A.旦B匹C竺D工9993【解答】解：设等差数列他的公差为d/ai+a2+a3=4,$6=10，A3a1+3d=4,6a,+d=10,11联立解得：a=,d=Z1gg先故选：A5（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为尸一1.15計犯1，则a的值等于（）A4.5B5C5.5D6【解答】解：由标准数据，计算匚=1X（14+16+18+20+22）=18，5&=1X（12+10+7+a+3）=；55由点（匚，&）在线性回归方程=-115r+281上，込=-1.15X18+28.1，5则32+a=74X5,解得a=5故选：2y-s46（3分）若直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数kL2s+y2的取值范围是（）直线y=k（x+1）经过不等式组y0，当=2,kG0,2故选：7.（3分）为了得到函数y=sinx的图象，只需将函数淬皿峠）的图象（）A横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移2L个单位6B横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移2L个单位6C. 横坐标缩短为原来的丄，纵坐标不变，再向右平移2L个单位2&D. 横坐标缩短为原来的丄，纵坐标不变，再向左平移2L个单位2&【解答】解：将函数冷译）的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+.）的图象；6再把它的图象再向右平移2L个单位，可得y=sinx的图象，6故选：A8（3分）若a,b是从集合-1,1,2,3,4中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（X）=X5a+Xb是奇函数的概率为（）A.丄B.丄C2D32010255【解答】解：从集合-1,1,2,3,4中随机选取的两个不同元素共有盛种，要使得函数f（x）=x5a+xb是奇函数，必须a,b都为奇数共有梓=6种，3则函数f（X）=X5a+Xb是奇函数的概率为P=旦=旦2010故选：9（3分）已知直线1宀-费二0与圆c；（hF+O阳亡4交于点M,N,点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）3A2或10B.4或8C62迈D62亏【解答】解：由辛可得乙伽=2/：価晋在Mcn中，CM=CN=2,z血&可得点C-到直线MN即直线1：K-.3y-a=0的距离为2虽”珈6所以，解得a=4或8.V1+3故选：10（3分）已知F是抛物线C：=2x（p0）的焦点，抛物线C上动点A,B满足石二4両第11页（共23页）若A,B的准线上的射影分别为M,N且MFN的面积为5,则ABI=()AB,C,D竺4444【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为C,交NB的延长线于点D.22设Ay),B(宜，y2)，则MN=yy22p2pSmfn=5，*|冷-匕1乍二5即馮-y2)p=10，丽二4西即厶ABAD-v25“=-知222AF=aM=2p2口削2p222联立解得yx=4,y2=-1,p=222如=11. （3分）若存在两个正实数x,y使得等式xC1+lnx）=xlny-ay成立（其中lnx,lny是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）ABCD（8e2ee23【解答】解：x（1+lnx）=xlny-ay可化为a=d启，yyy令t）,则t0,f（t）=-t-tint,yf（t）=-2-int,函数f（t）在区间Q寺）上单调递增，在区间+03上单调递减.已Je即=eeee则-L.e故选：C.12. （3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，ZDAB=60,沿BD将AABD翻折，得到三棱锥A-BCD，贝卩当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）【解答】解:ABDMBD为边长为1的等边三角形，将AABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：点A在底面BDC的投影在NDCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为AAEC过A点的高；所以当平面ABD丄平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE丄平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值:平移BC到DC位置，IcosZADCI即为所求，AD=DC=1,AE=,EC=t,AC=iM2221+1-IcosZADC1=1.=,2X1X14所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为丄，故选：B.二、填空题把答案填在答题卡的相应位置.13. （3分）已知&（1,力讥二k），若G+阮）仁雋4），则k=8【解答】解：升2亍=（9,2+2k）,3打-b=（-1,6-k）；G+2G（3：-Q,9（6-k）-（-1）（2+2k）=0,解得k=8.故答案为：8.14. （3分）在的展开式中，x4的系数为-工2k【解答】解：通项公式Tk=严（x3）8-k（-丄）k=k（-2）kx24-4k,k+1%尿2由题意可知24-4k=4,解得k=5则X4的系数为匚一I_z97-4故答案为：-工415-（3分）已知函数二尿曲仗碍）ms仗弓）+时，若对任意实数兀，恒有f（ai）Wf（x）Wf（a2），则cosCo.-a2）=-丄.2124【解答】解：、&）=2cos2L+（x-2L）cos（x-JL）+sinx244=cos2x+sinx=-2sinx+sinx+1,VsinxG-1,1,f(x)W(-2,9),3对任意实数x,恒有f(a/Wf(x)Wf(a2)，则f(a.)=-2,f(a2)=旦，8即sina=-1,sina=丄，coso=0,1241.cos（a1-a2）=cosa1cosa2+sina1sina2=0x_1）=-丄.16.（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandeln双球”；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O，球O2的半径分别为3和1，球心距离IOOJ=8,截面分别与球O,球O2切于点E,F,（E,F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于1一5一第17页（共23页）【解答】解：如图，圆锥面与其内切球O、O2分别相切与B,A,连接OB,00,则OdAB,O0丄AB,过O1作OD丄O/于D,连接O1F,02E,EF交002于点C设圆锥母线与轴的夹角为a截面与轴的夹角为p.在RtOpD中，DO2=3-1=2,OD=护_护=2左Acosa=2:15=15.0心84VO1O2=8,CO2=8-O1C,/eo2cafo1c,.AQ1C=9,解得O1C=2.o2e仔=佝严旳2=10_3-即COS/=CF=空0C2则椭圆的离心率e=一=JLJLcosCIVl54故答案为华.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列a/满足a1=1，an=2an_i+2n-1(nM2),数列满足bn=an+2n+3(I) 求证数列bn是等比数列；(II) 求数列a/的前n项和Sn【解答】解：(I)证明：当n=1时，a1=1,故b1=6.当nM2时，a=2a.+2n-1,nn_1则b=a+2n+3=2(a,+2n-1+2n+3=2a+2(n-1)+3,nnn-丄n_1:b=2b,数列列bn是等比数列，首项为6,公比为2.(11)由(I)得b=3X2n,na=b-2n-3=3X2n-2n-3,nnSn=3X(2+22+2n)-5+7+(2n+3)=3X2W-魚54缶+3)42=3X2n+i-n2-4n-618在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.(I)填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200(II)从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4求随机变量X的分布列和位居民中经常阅读的人数为X,若用样本的频率作为概率，期望.附：件曲需而其中n=a+b+c+dP(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解:(I)由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读10024124不经常阅读502676第19页(共23页)合计15050200第21页(共23页)则K2=200X(10。X时-50X露)2=9賀05.5465.024,150XE0X124X761767所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(II)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人,抽到经常阅读的人的概率聲且xB=普，锐2=盟，(X=0)=c(X=1)=1(X=2)=护(X=3)=c：c|)(X=4)=33丿=H,3;81所以X的分布列为:(4,計1812=_83可19已知：在四棱锥P-ABCD中，ADBC,粧二眈二cd=*ad，G是PB的中点，APAD881248132811681E(X)=是等边三角形，平面PAD丄平面ABCD.(I)求证：CD丄平面GAC；(II)求二面角P-AG-C的余弦值.【解答】(I)证明：取AD的中点为O,连结OP,OC,OB,设OB交AC于H,连结GH.AD/BC,曲二呪二cd#AD，四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形OB丄AC,OB/CD,则CD丄AC,PAD为等边三角形，O为AD的中点，PO丄AD,平面PAD丄平面ABCD且平面PADP平面ABCD=ADPOu平面PAD且PO丄AD,PO丄平面ABCD,CDu平面ABCD,PO丄CD,H,G分别为OB,PB的中点，GHPO,:GH丄CD又GHaAC=H,AC,GHu平面GAC,CD丄平面GAC；(II)解：取BC的中点为E,以O为空间坐标原点，分别以莎而西的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz设AD=4,则P(0,0,2帀),A(0,-2,0),C(忌1,0),D(0,2,0),G(#,丄，伍)2丽=(0,2,2亏),两=(主，3,亏).22设平面PAG的一法向量；=(x,y,z)L一f2y+2V3z=0rl由丁吁，得妣3，即严令Z=1,贝吃=（1,W，1）2骼二0x+yy+V3z=0U=z由（I）可知，平面AGC的一个法向量亦二（_1,）二面角P-AG-C的平面角0的余弦值cos0=|n|-|CDr2Vs_52220已知直线l经过椭圆CsJ+r1Cabc）的右焦点（1,0）,交椭圆C于点A,B,a2b2点F为椭圆C的左焦点，AABF的周长为8（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N,MN|2=4ABI,求证:直线m与直线l的交点P在定直线上.【解答】解:（I）由已知，得，沪1,加=3,14a=8Ia=2O2椭圆C的标准方程-=1.43（II）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在.令l：y=k(x-1),(kH0),m：y=-k(x+t),A(x1,y1),B(x2，y2),M(xM，M)，N(xn，将直线m的方程代入椭圆方程得：(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,/.xM+xN=，MXN=-,MNl2=(1+2)严灯3+4kE3十4讣(3+4kz)2同理AB=.Q=12(l+k2)3+4k23+4k2由IMN|2=4IABI得t=0,此时，=64ht2-16(3+4*2)(k2t2-3)09.直线m：y=-kx,，即点P的定直线x=Z上21已知函数f(x)=x2-axlnx+a+1(e为自然对数的底数)(I) 试讨论函数f(x)的导函数y=f(x)的极值；(II) 若Vx曰1,e(e为自然对数的底数)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.【解答】解：(I)f(x)的定义域为(0,+8).g(x)=f(x)=2x-alnx-a,g(x)=2-皀二KK当aW0时，g(x)0,函数y=g(x)在(0,+8)单调递增，函数y=g(x)没有极值.当a0时，由g(x)=0,得x=l，函数y=g(x)在(0,皀)上单调递减，在222+8)上单调递增.函数y=g(x)的极小值为g(自二f碍，没有极大值.(II)对VrG1,e,f(x)0恒成立，即对VxG1,e,x2-axlnx+a+10,对VxG1,e,x-alnx+L0.X令h(x)=x-alnx+吐L，则h(x)=1-.=G+1)KKX2X2 当a+1W1,即aW0时，对Vx曰1,e,h(x)M0,:.h(x)在1,e上单调递增，h(x)min=h(1)=1-0+牛0,解得a-2,：-2VaW0满足题意. 当a+1Mqe时，即a$qe-1,对Vx曰1,e,h(x)W0,：h(x)在1,e上单调第25页(共23页)递减，9/h(x)min=h(e)=e-a+兰L0,解得aV巳十已十1满足题意.当1Va+1Ve,即0VaVe-1时，对于xW1,a+1,h(x)V0；对于xGa+1,e,h(x)0:h(x)在1,a+1上单调递减，在a+1，e上单调递增，卜即1+-In(a+1)0minaa设H(a)=1+Z-In(a+1),由于H(a)在(0,e-1)单调递减，a:.H(。)1-旦_血二企0,即h(x)min=aH(a)0,0VaVe-1满足题意.综上可得，a的取值范围为：泪el选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a为参数，ae0,n)在以|.y=2sinCt直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为P2(1+3sin20)=4.(1) 求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2) 若直线l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A,，求AAO的面积的最大值.【解答】解：(1)由(a为参数，a曰0,n)消去参数a,可得曲线C的普通方程为x2+y2=4(yM0)由p2(1+3sin20)=4,可得p2+3(psin0)2=4,则x2+y2+3y2=4,7贝恤线E的直角坐标方程为是1；(2)设A(2cosa,2sina),ae0,n,其中t=2cosa，则B(2cosa,sina)要使得AAOB面积的最大，则B(2cosa,-sina)11Q=1=fa|第22页(共23页)2aW0,2n,sin2aG-1,1当斗或晋，即t二迈时，AAOB的面积取最大值魯第23页（共23页）选修4-5：不等式选讲23设f(x)=3X-1I+X+1I的最小值为k(1) 求实数k的值；(2) 设m,“WR,mH0,m2+42=k，求证：丄+o2n2fl2r-4K+2?【解答】解:(1)f(x)=3X-1I+X+1=|-屍+4,-1葢1,4x2,工1I当x=1时，f(x)取得最小值，即k=f(1)=2；(2)证明：依题意，m2+4“2=2,则m2+4(“2+1)=6所以冶=氨吟“+mn+1mm2当且仅当，即m2=2,“2=0时，等号成立.m2_n2+l所以屯尸用n2n2