六年级数学奥数习题讲义《抽屉原理（一）》

1六年级数学奥数习题讲义-第 29 讲 抽屉原理（一）一、知识要点一、知识要点如果给你 5 盒饼干,让你把它们放到 4 个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉里至少有 2 盒饼干.如果把 4 封信投到 3 个邮箱中,那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信.如果把 3 本联练习册分给两位同学,那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册.这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”.基本的抽屉原理有两条:（1）如果把 x+k（k1）个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素.（2）如果把 mxk（xk1）个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素.利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?哪些是“元素”?然后按以下步骤解答:a、构造抽屉,指出元素.b、把元素放入（或取出）抽屉.C、说明理由,得出结论.本周我们先来学习六年级数学奥数习题讲义-第（1）条原理及其应用.二、精讲精练二、精讲精练【例题例题 1】1】某校六年级有学生 367 人,请问有没有两个学生的生日是同一天?为什么?把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素.把 367 个元素放到 366 个抽屉中,至少有一个抽屉中有 2 个元素,即至少有两个学生的生日是同一天.平年一年有 365 天,闰年一年有 366 天.把天数看做抽屉,共 366 个抽屉.把 367 个人分别放入 366 个抽屉中,至少在一个抽屉里有两个人,因此,肯定有两个学生的生日是同一天.练习练习 1:1:1、某校有 370 名 1992 年出生的学生,其中至少有 2 个学生的生日是同一天,为什么?2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天?3、15 个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生?2【例题例题 2】2】某班学生去买语文书、数学书、外语书.买书的情况是:有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）?首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有 7 种类型,把 7 种类型看成 7 个抽屉,去的人数看成元素.要保证至少有一个抽屉里有 2 人,那么去的人数应大于抽屉数.所以至少要去 7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书.买书的类型有:买一本的:有语文、数学、外语 3 种.买二本的:有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3 种.买三本的:有语文、数学和外语 1 种.3+3+1=7（种）把 7 种类型看做 7 个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同的书,至少要去 8 位学生.练习练习 2:2:1 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书.买书的情况是:有买一本的、二本的、三本或四本的.,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）?2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书.每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种?3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的?3【例题例题 3】3】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种.问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的?把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉,把手套看成是元素,要保证有 1 副同色的,就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套,根据抽屉原理,最少要摸出 5 只手套.这时拿出 1 副同色的后,4 个抽屉中还剩下 3 只手套.再根据抽屉原理,只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推.把四种颜色看成是 4 个抽屉,要保证有 3 副同色的,先考虑保证有一副就要摸出 5 只手套.这时拿出 1 副同色的后,4 个抽屉中还剩下 3 只手套.根据抽屉原理,只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的.以此类推,要保证有 3 副同色的,共摸出的手套有 5+2+2=9（只）答:最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的.练习练习 3:3:1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种.问最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的?2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只.颜色有白、黑、蓝三种.问:最少要摸出多少只袜子,才能保证有 3 双同色的?3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只.每次从布袋中拿出一只袜子,最少要拿出多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子?4【例题例题 4】4】任意 5 个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 4 的倍数,这是为什么?一个自然数除以 4 的余数只能是 0,1,2,3.如果有 2 个自然数除以 4 的余数相同,那么这两个自然数的差就是 4 的倍数.一个自然数除以 4 的余数可能是 0,1,2,3,所以,把这 4 种情况看做时个抽屉,把任意 5个不相同的自然数看做 5 个元素,再根据抽屉原理,必有一个抽屉中至少有 2 个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是 4 的倍数.所以,任意 5 个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 4 的倍数.练习练习 4:4:1、任意 6 个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 5 的倍数,这是为什么?2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数?3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中,必有两个数之差为 n 的倍数.【例题例题 5】5】能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中,分别填上 1,2,3 这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线 AD、BC 上的各个数的和互不相同?由图 29-1 可知:所有空格中只能填写 1 或 2 或 3.因此每行、每列、每条对角线上的 5个数的和最小是 15=5,最大是 35=15.从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值,把这 11 个值看承 11 个抽屉,把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素,只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的.因为每行、每列、每条对角线上的 5 个数的和最小是 5,最大是 15,从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值.而 5 行、5 列及两条对角线上的各个数的和共有 12 个,所以,这 12 条线上的各个数的和至少有两个是相同的.5练习练习 5:5:1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中,分别填上 1,2,3 这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同?为什么?2、证明在 88 的方格表的每个空格中,分别填上 3,4,5 这三个数中的任一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的.3、在 39 的方格图中（如图 29-2 所示）,将每一个小方格涂上红色或者蓝色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同.这是为什么?