四年级数学奥数习题讲义《容斥原理》

1四年级数学奥数习题讲义-第三十五周 容斥原理专题简析:容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理:对 n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质 a 分类与性质 b 分类（如图）,那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=NaNbNab.NabNbNa2例 1:一个班有 48 人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手！”有 37 人举手.又问:“谁做完数学作业?请举手！”有 42 人举手.最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有 37 人,完成数学作业的有 42 人,一共有 3742=79 人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有:7948=31 人.练 习 一1,五年级有 122 名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87人.语文、数学都优秀的有多少人?2,四年级一班有 54 人,订阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有 13 人,订小学生优秀作文的有 45 人,每人至少订一种读物,订数学大世界的有多少人?3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24 人,会弹电子琴的有 17 人,其中两种乐器都会演奏的有 8 人.这个文艺组一共有多少人?3例 2:某班有 36 个同学在一项测试中,答对四年级数学奥数习题讲义-第一题的有 25 人,答对四年级数学奥数习题讲义-第二题的有 23人,两题都答对的有 15 人.问多少个同学两题都答得不对?分析与解答:已知答对四年级数学奥数习题讲义-第一题的有25 人,两题都答对的有 15 人,可以求出只答对四年级数学奥数习题讲义-第一题的有 2515=10 人.又已知答对四年级数学奥数习题讲义-第二题的有 23 人,用只答对四年级数学奥数习题讲义-第一题的人数,加上答对四年级数学奥数习题讲义-第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:1023=33 人.所以,两题都答得不对的有3633=3 人.练 习 二1,五（1）班有 40 个学生,其中 25 人参加数学小组,23 人参加科技小组,有 19 人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加?2,一个班有 55 名学生,订阅小学生数学报的有 32 人,订阅中国少年报的有 29 人,两种报纸都订阅的有 25 人.两种报纸都没有订阅的有多少人?3,某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果 3 人两项比赛都获奖了,有 27 人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖4的有 14 人,问数学比赛获奖的有多少人?5例 3:某班有 56 人,参加语文竞赛的有 28 人,参加数学竞赛的有 27人,如果两科都没有参加的有 25 人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?分析与解答:要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:5625=31 人,再求两科竞赛同时参加的人数:282731=24 人.练 习 三1,一个旅行社有 36 人,其中会英语的有 24 人,会法语的有 18 人,两样都不会的有 4 人.两样都会的有多少人?2,一个俱乐部有 103 人,其中会下中国象棋的有 69 人,会下国际象棋的有 52 人,这两种棋都不会下的有 12 人.问这两种棋都会下的有多少人?3,三年级一班参加合唱队的有 40 人,参加舞蹈队的有 20 人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人.这两队都没有参加的有 10 人.请算一算,这个班共有多少人?6例 4:在 1 到 100 的自然数中,既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个?分析与解答:从 1 到 100 的自然数中,减去 5 或 6 的倍数的个数.从1 到 100 的自然数中,5 的倍数有 1005=20 个,6 的倍数有 16 个（1006=164）,其中既是 5 的倍数又是 6 的倍数（即 5 和 6的公倍数）的数有 3 个（10030=310）.因此,是 6 或 5 的倍数的个数是 16203=33 个,既不是 5 的倍数又不是 6 的倍数的数的个数是:10033=67 个.练 习 四1,在 1 到 200 的全部自然数中,既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个?2,在 1 到 130 的全部自然数中,既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个?3,五（1）班做广播操,全班排成 4 行,每行的人数相等.小华排的位置是:从前面数四年级数学奥数习题讲义-第 5 个,从后面数四年级数学奥数习题讲义-第 8 个.这个班共有多少个学生?7例 5:光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有 24 幅不是五年级的,有 22 幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有 10 幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?分析与解答:由题意知,24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22 幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.2422=46 幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的 10 幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以 2,即可求出其他年级参展作品的总数.（242210）2=18 幅.练 习 五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有 110 件不是一年级的,有 100 件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有 32 件.其他年级参展的作品共有多少件?2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有 25 幅画不是三年级的,有 19 幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有 8 幅.其他年级参展的画共有多少幅?3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有 28 幅不是五年级的,有 24 幅不是六年级的,五、8六年级参展的书法作品共有 20 幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4 幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅?