浅谈构造等比数列求数列的通项公式

浅谈构造等比数列的通项公式的方法摘要：由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中常见，也是较难的问题，多分析递推公式的结构特征，构造恰当的等比数列，就能够求这些数列的通项公式。关键词：构造 等比数列 通项公式等比数列是最简单、最基础、最重要的数列之一。而数列的递推公式是给出数列的一种重要方法，由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中比较难的问题，但在根据数列的递推公式求数列的通项公式时，如能恰当地构造等比数列将会给解决问题带来极大的方便。下面就如何构造等比数列求数列的通项公式谈谈自己的一些办法。一、形如的类型例1、已知数列的各项都是正数且，求数列的通项公式。解： 由 得 是以2为公比，为首项的等比数列二、形如的类型 例2、已知数列中，求数列的通项公式。 分析：利用对数性质可将指数变成倍数，从而将该递推公式转化成等比数列的递推公式。 解：由得 是以为首项，2为公比的等比数列 三、形如的类型 例3、已知数列中，求数列的通项公式。 分析：是等比数列的递推公式，该题中多了常数1，故将该递推公式转化成加一个常数成等比数列的结构。解：令 变形得 对比递推公式系数得，代入得 是以为首项，3为公比的等比数列四、形如的类型 例4、已知数列中，求数列的通项公式。 分析：是等比数列的递推公式，该题中多了一个，故将该递推公式转化成加或成等比数列的结构。解法1：令 变形得对比递推公式系数得，代入得是以为首项，3为公比的等比数列解法2：由得令，则从而转化成类型三，以下略。注意：若，则类型四只能用解法2。五、形如的类型 例5、已知数列中，求数列的通项公式。 分析：是等比数列的递推公式，该题中多了一个，故将该递推公式转化成加或成等比数列的结构。解：令 变形得对比递推公式系数得：解得 代入得是以为首项，3为公比的等比数列 六、形如的类型例6、已知数列中，求数列的通项公式。分析：是等比数列的递推公式，该题中多了一个故将该递推公式转化成加或成等比数列的结构。 解：令 变形得对比递推公式系数得：解得 代入得是以为首项，3为公比的等比数列。 七、形如类型例7、数列中，求数列的通项公式。 分析：与前面的类型不同的是前面的递推公式都是相邻两项的关系，而该题却是相邻三项的关系，因此将相邻两项的线性运算看成一个整体构造等比数列。解：设,变形得，对比递推公式的系数，令 ，解得 或 （I）当时， , 是以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得： （II）当时， 是以为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式得： 得： ，将代入上式化简得，这就是著名的斐波拉契数列的通项公式。 由上面的例题可以看出，根据递推公式的结构构造等比数列是解决该类问题的关键，只要多分析递推公式的结构特征，构造恰当的等比数列，就能够求这些数列的通项公式。另外，若前面类型中的系数，则问题更简单，若系数，则可用叠加法解决。6