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空间几何体的体积,问题情境、学生活动,类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积。,1cm3,一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少。,长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为,V长方体=abc,V长方体=Sh,或,这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。,问题情境、学生活动,阅读课本P65“祖暅原理”,两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？,想一想,数学理论,S,S,S,棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。,一.柱体的体积,底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。,V柱体= sh,数学理论,类似的,底面积相等,高也相等的两个锥 体的体积也相等。,V锥体=,S为底面积,h为高。,二.锥体的体积,数学理论,h,x,三.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是S,S,高是h，则,数学理论,s,S,s,S=0,S=S,V台体=,V柱体=Sh,V锥体=,柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？,探索与研究,四、球的体积,两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,祖暅原理：,思考 : 是否可运用此原理得到球的体积?,R,观察：半球的体积与底面积相等的旋转体 体积对比,结论：,根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即,一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。即：,R,S1,五、球体的表面积,无限分割逼近精确值,数学运用（例1）,答：这堆螺帽大约有260个,有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 )六角螺帽共重6kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）,分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量。,数学运用（例2）,如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为 若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为,分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.,解：,例3、（1）把半径为3cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸制作纸盒?,球内切于正方体,分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,两个几何体相内切:一个几何体的各个面与 另一个几何体的各面相切.,例4、（2）半径为4cm的球状木盒里,能装得下的最大的正方体的棱长是多少?,分析：半径为4cm的球状木盒能装下的最大正 方体与球盒有什么位置关系？,球外接于正方体,两个几何体相接:一个几何体的所有顶点 都 在另一个几何体的表面上。,总结：正方体与球的位置关系： . 内切球； . 外接球；,棱长为直径 体对角线长为直径,例5、在棱长为4的正方体中，求三棱锥AB1CD1的体积,A,C,B1,D1,P,A,B,C,例6、设P，A，B，C是球O表面上的四个 点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC =1m，求球的体积与表面积。,回顾反思,理解柱体、锥体、台体之间的关系：,s,s/,s,S/=0,S/=S,V台体=,V柱体=Sh,V锥体=,
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