线线角线面角二面角的一些题目

线线角与线面角习题、复习目标 1理解异面直线所成角的概念 ，并掌握求异面直线所成角的常用方法.2理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法.3掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1在空间四边形 ABCD中，AD=BC=2, E F分别为AB、CD的中点且EF=J3，AD、BC所成的 角为2如图,在长方体 ABCD-ABiCiDi中，BiC和CiD与底面所成的角分别为 60和45 ,则异面 直线BiC和CiD所成角的余弦值为()(A).6(b)3(D)寻63平面 与直线a所成的角为，则直线a与平面 内所有直线所成的角的取值范3围是.4如图,ABCD是正方形,PD丄平面ABCD,PD=AD则PA与BD所成的角的度数为0 0 0 0(A).30(B).45(C).60(D).905有一个三角尺 ABC,/ A=30 0 , / C=900 ,BC是贴于桌面上当三角尺与桌面成 45 0角时,AB边与桌面所成角的正弦值是.三、典型例题CAB例i.(96 全国)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值 备课说明：i.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法有：平移法：在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线或利用中位线补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线的关系2解立几计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过程，还要有合理的步骤iC,为此例2如图在正方体 AG中，(i)求BG与平面ACCAi所成的角；(2)求AiBi与平面AiCiB所成 的角 备课说明：求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影 必须在这条直线上找一点作平面的垂线 作垂线的方法常采用 面垂直的性质找平面的垂线 点的射影在面内的特殊位置 例 3.已知直三棱住 ABC-ABiCi,AB=AC, F为棱BBi 上一点，BF : FBi=2 : 1, BF=BC=2a . (1)若 D 为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点，证明：EF丄FG; (2)试问:若AB=2a,在线 段AD上的E点能否使EF与平面BBiCiC成60角，为什么？证明你的结论备课说明：这是一道探索性命题，也是近年高考热点问题，解A决这类问题，常假设命题成立，再研究是否与已知条件矛盾 ， C 从而判断命题是否成立四、反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所 成的角的取值范围贝U(A)A=B=C(B)A=B C (C)A B C(D) B A C.2两条直线a, b与平面 所成的角相等，则直线a , b的位置关系是(A)平行(B)相交(C)异面(D)以上均有可能 3设棱长为1的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M、N分别为AAi和BBi的中点，则直线 CM和DiN所成角的正弦值为 .4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与a、 b均成60角的直线有条.5异面直线a、b互相垂直，c与a成30角，则c与b所成角的范围是 .6 / ACB=90O在平面 内,PC与CA、CB所成的角/ PCA=Z PCB=60，则PC与平面 所成的角 为.7设线段AB=a ,AB在平面内,CA丄,BD与 成30角,BD丄AB,C D在 同侧,CA=BD=b .求：(1)CD的长;(2)CD与平面 所成角正弦值.C课前预习01.602.A3. ， 4.C32典型例题例 1 解：T CB/ AD/ CBF为异面直线AD与BF所成的角连接CFCE设正方形ABCD的边长为，则BF2aCB丄AB, EB丄ABZ CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角 Z CBE=Z 600 CE=a FC= .2a cosZ CBF=4OB i例2解: 设所求的角为 ，先证BD丄平面 ACGA1,则sin =sin Z OC1B=.故BC12=30o.(2)A A1BC1是正三角形,且A1B1=B1Ci=BB1. 棱锥 B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H 丄平面A1BC1,连A1H, Z B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1 = a则A1B=、2a得J6 斗A| H寸 6A1H=a .故 cos Z B1A1 H=一 =.所求角为 arccos 3A1B133例3解: 连接OF,容易证明AD丄面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影，且DF丄FC, - FG丄EF(2) / AD丄面 BB1C1C, Z EFD是EF与平面 BB1C1C所成的角.在厶EDF中，若Z EFD=600,则 ED=DFta n 60 =、3 . 5 =、15a, / AB=BC=AC=2a , AD=、3a .t . 15a 、3a . E在DA的延长线上，而不在线段AD上；故线段AD上的E点不可能使EF与平面BBQC成 60 角.反馈练习4-53.97.解:作DD，丄 于D，连接 形，Z CAD/ =Z D DA=90 ,AB1. D 2. D4. 35. 60 0,90 6.450AD，,BDZ .CAI , CA/ DD，.四边形 CAD， ,AB丄 DD，.又 AB丄 BD,/. AB丄平面 BDD，,BD，K AB丄 BD，. tZ DBD/ 是 BD 与 所成的角,/Z DBDZ =30 ,BD=b , DD，=- ,BD23b2D是直角梯平面BDD，.3b2 .、.：3b2/2在厶 ABD /中，AB=a,BD/=Z ABDZ =90, AD，“AB2 BD 2 2 ，.在 CAD7D 中，CD= . AD2 (AC DD)2a2 b2 .AC作CTC/ DC交CA于C/Z CVA是CD与 所成的角,sin Z CP/A= CDb_21 a2 b2、知识与方法要点线面角与面面角练习1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键 是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要 用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上 一点到平面的距离。2.二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3.判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.二、例题例1 正方体 ABCD-ABCD中，M为CD中点.(1) 求证：AG丄平面AiBD(2) 求BM与平面AiBD成的角的正切值.解：(1)连AG,/ CQ丄平面ABGD CC 丄 BD.又AC丄BD- AG丄BD.同理 AG丄AiB/ AiBn BD=B AG 丄平面 AiBD.图 1-52设正方体的棱长为 a，连AD, AD交AiD于E,连结 ME在厶DAG中，ME/ AG,/ AG丄平面 Ai BD MEL平面 Ai BD.连结BE,则/ MBE为BM与平面Ai BD成的角.在 Rt MEB中,ME a, tan MBE26BE 2ABC以斜边AB为轴旋转, AC时停止，并记为点 P.EHA2 2，例2 如图，把等腰直角三角形 使C点移动的距离等于(i )求证：面 ABP丄面ABC ( 2)求二面角 G-BP-A的余弦值.证明(i )由题设知 AP= CP= BP. 点P在面ABC的射影D应是 ABC的外心，?:即D AB. / PD丄AB PD 面ABR由面面垂直的判定定理知，面ABP丄面ABC(2)解法i 取PB中点E,连结CE、DE CD / BGP为正三角形， GE1 BD. BOD为等腰直角三角形， DEL PB. / CED为二面角G-BP-A的平面角. 又由(i)知，面 ABPL面 ABC DGLAb人吐面ABPn面 ABC由面面垂直性质定理，得DGL面ABP DGL DE因此 CDE为直角三角形.设BC iGE,cos CED2丄DE 23CE 332例3.如图所示，在正三棱柱 ABC A B 1Ci中，E BB1，截面A EC(1) 求证：BE EBi ；(2) 若AAi AiBi，求平面 A EC与平面AiBiCi 所成二面角(锐角)的度数.证明：在截面 AiEC内，过E作EGL AiC, G是垂足，如图，侧面ACi .面 Ai EC丄面 ACi, EGL侧面 ACi .取AC的中点F,分别连结 BF和FC,由AB= BC得BF丄AC面 ABCL侧面 AC1 , BF丄侧面 AC1 ,得BF/ EG BF和EG确定一个平面，交侧面 AC1于FG. BE/侧面 AC1 , BE/ FG 四边形 BEGF , BE= FG. BE/ AA1 , FG/ AA , AAFGCTAT二FC,二FG二 二；BB,uu即LE=故EE = EB解：（2）分别延长CE和C1B1交于点D,连结A1 D.EEi / CCP ER】二 二 fcCi， DE = DC BiC .A.|Bi./ B1A1C1 =Z B1C1A1 = 60,ZDAi = ZAiDBj =-ZrS1A）= 30,L/DA1C1 =Z DA1B1 +Z B1A1C1 = 90,即卩 DA1 丄A1C1 . v CC,丄面 A1C1B1 ,由三垂线定理得 DA1丄A1C,所以/ CA1C1是所求二面角的平面角.且/A1 C1 C= 90/ CC1 = Af = A1B1 = AG，/ CAG = 45,即所求二面角为 45 说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.三、作业：1.已知平面 的一条斜线a与平面 成角，直线b ，且a,b异面，则a与b所成的角为(A)A. 有最小值，有最大值B.无最小值，有最大值 。C.有最小值，无最大值D.有最小值，有最大值。2 .下列命题中正确的是(D)A. 过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B. 过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C. 过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D. 过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3 .一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45和30,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是(A)A. 30B. 20C. 15D. 124 .设正四棱锥S ABCD的侧棱长为 2，底面边长为 3 , E是SA的中点，则异面直线 BE与SC所成的角是(C)A. 30B. 45C. 60D. 905. 正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan2.2，则它的侧棱与底面所成的角为 _26. A 是厶 BCD所在平面外的点，/ BAC=Z CAB=Z DAB=60, AB=3, AC=AD=2.(I)求证：AB丄CD;(H)求AB与平面BCD所成角的余弦值.n7. 正四面体 ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值. 解过A, E分别作AH丄面BCD, EO丄面BCD, H, O为垂足，二 AH 2OE, AH, OE确定平面 AHD，连结 OC, / ECO 即为所求.I AB=AC=AD, HB=HC=HD / BCD是正三角形， H是厶BCD的中心， 连结DH并延长交DH 2 DF -33AH 二 JQ -D/BC于F , F为BC的中点，3a 3a ,在 Rt ADH中 , 231 2麻-二a = a.33JQE# -AH,=2r 1 ./6展2 3676EO_aFa&在四面体 ABCD中 , DA!面 ABC / ABC= 90 , AE! CD AF! DB 求证：(1) EF! DC ( 2)平面 DBCL平面 AEF.(3)AD = a, AB = a, AC = 7,求二面角B-DC-A的正弦值.证明 如图 1-83 . ( 1) v AD丄面 ABC AD!BC.又ABC= 90. BC! AB. BC丄面 DAB DB是DC在面 ABD内的射影.v AF! DB. 垂线定理).v AE! CD. CD!平面 AEF. CD! EF.(2)BCD(3)/ CD! AE CD! EF. / CtU面 AEF. / CD_面 BCD由EF! CD AE! CD AEF为二面角 B-DC-A的平面 jy角，在RtAADB 中=曰2a _/?在RtAATiC 中B = 2a /. AE =又 AF! DB AF! CD, BDA CD= D AF丄平面 DBC文EF在平面BBC内二 AF丄 EF在RtZlAEF中.sinAF =AFAE 73ra故二面角B-DC-A的正弦值为艺.二面角题目：例1.如图所示，已知PA 面ABC , Spbc S,SABc S，二面角P BC A的求证：S cos S平面角为 ，2.如图，在空间四边形形，且 BADABCD中，BCD是正三角形，ABD是等腰直角三角90 ,又二面角A BD C为直二面角，DA CD B的大小。例3设A在平面BCD内的射影是直角三角形 BCD的斜边BD的中点 O, AC BC 1CD ,2,求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角A BC D的大小；（3）异面直线AB和CD所成角的大小。C例4.在正方体ABCD A B C D中，M为AA的中点，求截面DMB与底面ABCD所成 较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为 1，BCI BC O，求：（1）AO与A C所成角；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角+解：（1 ） AC /AC AO 与 AC 所成角就是 OAC OC OB,AB 平面BC OC OA （三垂线定理）在Rt AOC中,OC子,AC 2OAC 30o（2）作OE BC，平面BC 平面ABCD OE 平面 ABCD , 在 Rt OAE 中，OEOAE为OA与平面ABCD所成角沁于 tanOAEOE 5AE 5(3 ) OC OA,OC OB OC 平面AOB又 OC 平面AOC平面 AOB 平面AOC即平面AOB与平面AOC所成角为90.