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解析几何简介,解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科学技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产生的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形中.,解析几何的产生,十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要.比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的.这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现.,1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论，这本书的后面有三篇附录，一篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学.当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样.后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的起点.,笛卡尔,从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来.他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式.,解析几何的基本思想,2.1.1数轴上的基本公式,一、数轴 二、向量,熟练掌握数轴上的基本公式.,重点,难点,数轴上的基本公式、平面向量的表示方法.,一、数轴,直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：,（1）数轴上点P与实数x的对应法则是怎样规定的？,数轴上的点P与实数x的对应法则： 如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离； 如果点P在原点朝负向的一侧，则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离； 如果点P在原点，则表示x=0，,（2）依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了怎样的一种关系？,依据这个法则，实数和数轴上的点之间建立了一一对应关系.,即数轴上每一个点都有惟一确定的实数与之对应； 反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的 点与之对应.,（3）数轴上点的坐标是怎么规定的？,如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x).,N（）,（）,（1）实数x和数轴上的点P之间是一种什么样的关系？ 一一对应 （2）如果两个数是相反数，它们在数轴上的位置关系是怎样的？ 关于原点对称,（3）你能用数轴比较两个数的大小吗？ 依据两个数对应的点在数轴上的相对位置，右边的点表示的数大.,二. 向量,1既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量。从点A到点B的向量，记作 ，读作“向量AB”。点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点；,2向量 的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作| |；,3,2,O,1,3相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量；,4数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量。 常用AB表示向量 的坐标。,如何理解相等向量？ (1)数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量。 (2)相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等。,3如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的。,三. 基本公式,1位移的和：在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移 叫做位移 与位移 的和，记作,2数量的和：对数轴上任意三点A、B、C都有关系AC=AB+BC；,3数量的坐标表示： 使 是数轴上的任意一个向量，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2x1；,4数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，则d(A，B)=|x2x1|.,数轴上向量的坐标公式及两点间的距离公式,1.向量的坐标公式AB=X2-X1推导的依据是什么？ 分析：此公式是由数轴上任意三点的向量加法关系式变化推得的. AB=AO+OB=-OA+OB=OB-OA,2.在向量的坐标公式中，起点和终点的顺序可以交换吗？为什么？ 分析：如果交换起点和终点的顺序，求得的数值应为 的坐标，与原向量 的长度相同，方向相反.,3.距离公式中，起点和终点的顺序可以交换吗？ 分析：可以交换，交换起点和终点的顺序之后，虽然表示的两个向量不一样，但是两个向量的长度是相同的，与方向没有关系.这个公式用于计算数轴上两点的距离及向量长度.,例1下列说法中，正确的是（ ） （A） =AB （B） （C）零向量是没有方向的 （D）相等的向量的坐标(数量)一定相同,D,例2 在数轴上表示下列各点：A(3)，B(1)，C(1)，D(2)，并找出与C的距离是1 两点M、N，并写出它们的坐标.,解：如图:,与C的距离是1的点M、N分别位于点C的两侧：M(0)，N(2)，点N与点D 重合,例3 已知A、B、C是数轴上任意三点, （1）若AB=5，CB=3，求AC； （2）证明：AC+CB=AB； （3）若|AB|=5，|CB|=3，求|AC|.,解：（1）AC=AB+BC=ABCB=2.,（2）设数轴上A、B、C三点的坐标分别为x1，x2，x3， 则AC=x3x1，CB=x2x3，AB=x2x1， AC+CB=(x3x1)+(x2x3) =(x2x1) =AB.,（3）AC=2或8.,例4已知数轴上三点A(x)、B(2)、P(3)，且满足 ，求x.,解：因为|AP|=|3x|，|BP|=|32|=1，,由已知,所以|3x|=2，得x=1或x=5.,
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